Matemática Elementar

Problema 1

O que é uma dízima periódica?

Problemas

Nível Ameba (introdutório)

1. O que é uma dízima periódica?

2. Dê um exemplo de dízima periódica simples.

3. Dê um exemplo de dízima periódica composta.

4. A dízima $0{,}333\ldots$ corresponde a que fração?

Nível ★ (básico)

5. Transforme $0{,}666\ldots$ em fração.

6. Transforme $0{,}181818\ldots$ em fração.

7. Transforme $0{,}727272\ldots$ em fração.

8. O que é uma fração geratriz?

Nível ★★ (intermediário)

9. Escreva a fração geratriz de $0{,}151515\ldots$

10. Transforme $0{,}08333\ldots$ em fração.

11. O número $0{,}125125125\ldots$ é uma dízima periódica? Justifique.

12. Transforme $0{,}999\ldots$ em fração e interprete o resultado.

Nível ★★★ (desafio)

13. Como diferenciar uma dízima periódica simples de uma composta?

14. Qual a importância da fração geratriz na matemática?

15. Escreva um número decimal com período de dois dígitos e encontre sua fração geratriz.

16. Crie um exemplo de dízima periódica e resolva sua fração geratriz passo a passo.

Gabarito — Dízimas Periódicas e Fração Geratriz

1. Um número decimal com algarismos que se repetem infinitamente em um padrão (período).

2. $0{,}777\ldots$ (período: 7).

3. $0{,}58333\ldots$ (parte não periódica: 58; período: 3).

4. $\frac{1}{3}$ .

5. $\frac{2}{3}$ .

6. $\frac{18}{99} = \frac{2}{11}$ .

7. $\frac{72}{99} = \frac{8}{11}$ .

8. É a fração que, ao ser dividida, gera exatamente aquela dízima periódica.

9. $\frac{15}{99} = \frac{5}{33}$ .

10. $x = 0{,}08333\ldots$ Período: 3, antiperíodo: 08. $x = \frac{83 - 8}{900} = \frac{75}{900} = \frac{1}{12}$ .

11. Sim, pois o bloco "125" se repete infinitamente. Período: 125.

12. $x = 0{,}999\ldots$ $10x = 9{,}999\ldots$ $10x - x = 9$ $9x = 9$ $x = 1$ . Portanto $0{,}999\ldots = 1$ .

13. Na simples, o período começa logo após a vírgula (ex: $0{,}333\ldots$ ). Na composta, há dígitos não periódicos antes do período (ex: $0{,}1666\ldots$ ).

14. Permite representar dízimas periódicas como frações exatas, facilitando operações e comparações.

15. Exemplo: $0{,}454545\ldots$ $x = 0{,}4545\ldots$ $100x = 45{,}4545\ldots$ $99x = 45$ $x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$ .

16. Exemplo: $0{,}636363\ldots$ Seja $x = 0{,}636363\ldots$ $100x = 63{,}6363\ldots$ $100x - x = 63$ $99x = 63$ $x = \frac{63}{99} = \frac{7}{11}$ .