Matemática Elementar

Problema 1

O que é uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas?

Problemas

Nível Ameba (introdutório)

1. O que é uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas?

2. Escreva a equação geral da reta.

3. Determine três pares ordenados que satisfazem a equação $y = 2x + 1$ .

4. Se $x = 0$ e $y = 3$ , qual equação da reta passa por esse ponto com coeficiente angular 2?

Nível ★ (básico)

5. Encontre o ponto de interseção das retas $y = x + 1$ e $y = 2x - 1$ .

6. Explique como traçar o gráfico da equação $y = -x + 4$ .

7. Verifique se o ponto $(2, 5)$ pertence à reta $y = 2x + 1$ .

8. Encontre o valor de $x$ para que o ponto $(x, 4)$ esteja sobre a reta $y = 3x - 2$ .

Nível ★★ (intermediário)

9. Qual o coeficiente angular da equação $y = -3x + 7$ ? O que ele representa geometricamente?

10. A reta $y = 5$ passa por quais pontos do eixo $y$ ? E do eixo $x$ ?

11. Dê dois exemplos de equações lineares com coeficientes angulares diferentes e compare seus gráficos.

12. Uma equação $y = ax + b$ representa uma reta. O que acontece com a inclinação da reta se $a$ aumenta?

Nível ★★★ (desafio)

13. Crie um problema de contexto real onde seja necessário usar uma equação linear para resolver.

14. Determine a equação da reta que passa pelos pontos $(1, 2)$ e $(3, 6)$ .

15. Construa um fluxograma com os passos para verificar se um ponto pertence a uma reta.

16. Descreva um processo para encontrar interseções de retas usando equações lineares.

Gabarito — Equação Linear de 1º Grau e Reta

1. Uma equação do tipo $ax + by = c$ , onde $a$ , $b$ e $c$ são constantes e $x$ , $y$ são incógnitas.

2. $y = ax + b$ (forma reduzida) ou $ax + by = c$ (forma geral).

3. $x = 0 \Rightarrow y = 1$ : $(0, 1)$ . $x = 1 \Rightarrow y = 3$ : $(1, 3)$ . $x = 2 \Rightarrow y = 5$ : $(2, 5)$ .

4. $y = 2x + b$ . Com $(0, 3)$ : $3 = 2(0) + b \Rightarrow b = 3$ . Equação: $y = 2x + 3$ .

5. $x + 1 = 2x - 1 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 3$ . Ponto de interseção: $(2, 3)$ .

6. Marcar o ponto $y = 4$ quando $x = 0$ (interseção com eixo $y$ ). Como $a = -1$ , a cada 1 unidade para a direita, $y$ desce 1. Marcar outro ponto (ex: $x = 4, y = 0$ ) e traçar a reta.

7. $y = 2(2) + 1 = 5$ . Sim, o ponto $(2, 5)$ pertence à reta.

8. $3x - 2 = 4 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$ .

9. Coeficiente angular $= -3$ . Representa a inclinação da reta: para cada 1 unidade à direita, $y$ diminui 3 unidades (reta decrescente).

10. Passa pelo ponto $(0, 5)$ no eixo $y$ . Não cruza o eixo $x$ (reta horizontal paralela a $x$ ).

11. $y = 2x + 1$ (crescente, inclinação moderada) e $y = -x + 1$ (decrescente). A primeira sobe e a segunda desce.

12. A reta fica mais inclinada (mais "íngreme").

13. Exemplo: uma corrida de táxi custa R $5,00 de bandeirada mais R$ 2,00 por km. Custo: $y = 2x + 5$ . Para 10 km: $y = 2(10) + 5 = 25$ reais.

14. Inclinação: $a = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ . Com ponto $(1, 2)$ : $2 = 2(1) + b \Rightarrow b = 0$ . Equação: $y = 2x$ .

15.

Receber a equação da reta e as coordenadas do ponto. 2. Substituir $x$ e $y$ na equação. 3. Verificar se a igualdade é verdadeira. 4. Se sim → pertence; se não → não pertence.

16. Igualar as duas equações ( $y_1 = y_2$ ), resolver para $x$ , substituir para encontrar $y$ . O par $(x, y)$ é o ponto de interseção.