Matemática Elementar

Problema 1

O que é uma sequência recursiva? Dê um exemplo.

Problemas

Nível Ameba (introdutório)

1. O que é uma sequência recursiva? Dê um exemplo.

2. O que é uma sequência não recursiva? Dê um exemplo.

3. Complete a sequência recursiva: $a_1 = 2$ , $a_n = a_{n-1} + 3$ .

4. Complete a sequência não recursiva: $a_n = 5n - 2$ .

Nível ★ (básico)

5. Qual a diferença entre uma fórmula recursiva e uma explícita?

6. A sequência de Fibonacci é recursiva ou não recursiva? Justifique.

7. Construa uma sequência recursiva onde $a_1 = 1$ e $a_n = 2 \times a_{n-1}$ .

8. Represente por fluxograma uma regra de formação recursiva simples.

Nível ★★ (intermediário)

9. Escreva uma expressão algébrica explícita para a sequência 3, 6, 9, 12, ...

10. A sequência $a_n = n^2$ é recursiva ou não recursiva? Justifique.

11. Represente graficamente a sequência $a_n = 2n + 1$ para $n = 1$ a $5$ .

12. Se uma sequência é definida por $a_1 = 1$ e $a_n = a_{n-1} + n$ , determine os cinco primeiros termos.

Nível ★★★ (desafio)

13. Construa uma tabela com os termos da sequência $a_n = n^2 + 1$ até $n = 5$ .

14. Modele uma situação do cotidiano com uma sequência recursiva.

15. Escreva um algoritmo para calcular o 10º termo de uma sequência recursiva dada.

16. Diferencie sequência aritmética de sequência recursiva com exemplo.

Gabarito — Sequências Recursivas e Não Recursivas

1. Cada termo depende do(s) anterior(es). Ex: $a_n = a_{n-1} + 2$ com $a_1 = 1$ → 1, 3, 5, 7, ...

2. Cada termo é definido diretamente pela posição $n$ . Ex: $a_n = 3n$ → 3, 6, 9, 12, ...

3. $a_1 = 2$ , $a_2 = 5$ , $a_3 = 8$ , $a_4 = 11$ , $a_5 = 14$ .

4. $a_1 = 3$ , $a_2 = 8$ , $a_3 = 13$ , $a_4 = 18$ , $a_5 = 23$ .

5. A fórmula recursiva depende do termo anterior para calcular o próximo. A explícita (não recursiva) calcula qualquer termo diretamente a partir de $n$ .

6. Recursiva. Cada termo é a soma dos dois anteriores: $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ .

7. $1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots$

8. Início → definir $a_1$ → calcular $a_n = 2 \times a_{n-1}$ → repetir → Fim.

9. $a_n = 3n$ .

10. Não recursiva, pois cada termo depende diretamente de $n$ ( $a_n = n^2$ ), sem precisar do anterior.

11. Pontos: $(1, 3)$ , $(2, 5)$ , $(3, 7)$ , $(4, 9)$ , $(5, 11)$ .

12. $a_1 = 1$ , $a_2 = 1 + 2 = 3$ , $a_3 = 3 + 3 = 6$ , $a_4 = 6 + 4 = 10$ , $a_5 = 10 + 5 = 15$ .

13. | $n$ | $a_n = n^2 + 1$ | |---|---| | 1 | 2 | | 2 | 5 | | 3 | 10 | | 4 | 17 | | 5 | 26 |

14. Exemplo: depósito bancário onde cada mês soma-se um valor fixo ao saldo anterior. $a_1 = 100$ , $a_n = a_{n-1} + 50$ .

15.

Definir $a_1$ . 2. Para $i$ de 2 até 10, calcular $a_i$ usando a regra recursiva. 3. O resultado é $a_{10}$ .

16. Toda sequência aritmética pode ser escrita de forma recursiva ( $a_n = a_{n-1} + r$ ), mas nem toda sequência recursiva é aritmética (ex: $a_n = 2 \times a_{n-1}$ é geométrica).