Matemática Elementar

Problema 1

O que significa uma sequência ser recursiva?

Problemas

Nível Ameba (introdutório)

1. O que significa uma sequência ser recursiva?

2. Dê um exemplo de sequência recursiva e mostre seus primeiros cinco termos.

3. Crie uma regra recursiva para a sequência: 3, 6, 12, 24, ...

4. Desenhe (ou descreva) um fluxograma simples que represente uma sequência recursiva qualquer.

Nível ★ (básico)

5. Complete a sequência: $a_1 = 5$ , $a_n = a_{n-1} - 2$ .

6. Como se identifica uma regularidade em uma sequência recursiva?

7. Uma sequência recursiva é sempre crescente? Explique com exemplo.

8. Modele a seguinte situação com uma sequência recursiva: "a cada dia, uma pessoa dobra a quantidade de páginas lidas no dia anterior, começando com 2 páginas".

Nível ★★ (intermediário)

9. Construa um fluxograma que calcule os 4 primeiros termos da sequência $a_1 = 1$ , $a_n = 2 \times a_{n-1} + 1$ .

10. Identifique uma regularidade na sequência: 2, 5, 10, 17, 26, ...

11. Explique como o fluxograma ajuda a identificar a regularidade em uma sequência.

12. Crie uma sequência recursiva decrescente e explique a lógica.

Nível ★★★ (desafio)

13. Escreva um algoritmo em linguagem natural para gerar os $n$ primeiros termos da sequência $a_1 = 3$ , $a_n = a_{n-1} + 4$ .

14. Dê um exemplo de problema real que pode ser resolvido com uma sequência recursiva.

15. Construa uma tabela com os termos da sequência $a_n = a_{n-1} + n$ , com $a_1 = 1$ até $n = 6$ .

16. Compare os fluxogramas de uma sequência recursiva e de uma não recursiva.

Gabarito — Regularidade de Sequência Recursiva (Fluxograma)

1. Cada termo depende do termo anterior para ser calculado.

2. $a_1 = 2$ , $a_n = a_{n-1} + 3$ → 2, 5, 8, 11, 14.

3. $a_1 = 3$ , $a_n = 2 \times a_{n-1}$ .

4. Início → Definir $a_1$ → Aplicar regra ( $a_n = f(a_{n-1})$ ) → Repetir até o termo desejado → Fim.

5. $5, 3, 1, -1, -3$ .

6. Observando como cada termo é obtido a partir do anterior — qual operação é repetida (soma, multiplicação, etc.).

7. Não. Exemplo: $a_1 = 10$ , $a_n = a_{n-1} - 1$ → 10, 9, 8, 7, ... (decrescente).

8. $a_1 = 2$ , $a_n = 2 \times a_{n-1}$ → 2, 4, 8, 16, 32, ...

9. $a_1 = 1$ , $a_2 = 2(1) + 1 = 3$ , $a_3 = 2(3) + 1 = 7$ , $a_4 = 2(7) + 1 = 15$ .

10. Diferenças entre termos: 3, 5, 7, 9 (números ímpares consecutivos). Cada termo é $n^2 + 1$ .

11. O fluxograma mostra visualmente a repetição do padrão, facilitando a identificação da regra de formação.

12. Exemplo: $a_1 = 20$ , $a_n = a_{n-1} - 3$ → 20, 17, 14, 11, 8. Subtrai-se 3 a cada termo.

13.

Definir $a_1 = 3$ . 2. Para cada posição $i$ de 2 até $n$ : calcular $a_i = a_{i-1} + 4$ . 3. Exibir todos os termos.

14. Crescimento populacional: se cada geração dobra, com 100 indivíduos iniciais: $a_1 = 100$ , $a_n = 2 \times a_{n-1}$ .

15. | $n$ | $a_n$ | |---|---| | 1 | 1 | | 2 | $1 + 2 = 3$ | | 3 | $3 + 3 = 6$ | | 4 | $6 + 4 = 10$ | | 5 | $10 + 5 = 15$ | | 6 | $15 + 6 = 21$ |

16. A recursiva precisa de um laço (loop) que calcula cada termo usando o anterior. A não recursiva calcula qualquer termo diretamente com uma fórmula, sem laço.