Mediatriz e Bissetriz
8º ano · Bimestre 3 · BNCC: EF08MA17, EF08MA15 · Dificuldade: média
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Problema 1
O que é uma mediatriz de um segmento?
Problemas
1. O que é uma mediatriz de um segmento?
2. O que é uma bissetriz de um ângulo?
3. Como se constrói a mediatriz de um segmento usando régua e compasso?
4. Como se constrói a bissetriz de um ângulo usando compasso?
5. Construa um triângulo e desenhe as três mediatrizes. Onde elas se encontram?
6. Construa um triângulo e desenhe as três bissetrizes. Onde elas se encontram?
7. Onde se encontra o ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo? Qual é seu nome?
8. Onde se encontra o ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo? Qual é seu nome?
9. O que significa dizer que a mediatriz é um lugar geométrico?
10. Em qual situação prática usamos a bissetriz como lugar geométrico?
11. Descreva um fluxograma para construir a bissetriz de um ângulo.
12. Descreva um fluxograma para construir a mediatriz de um segmento.
13. Quais são as propriedades geométricas do circuncentro e do incentro?
14. Como essas construções aparecem em projetos de engenharia ou arquitetura?
15. Compare mediatriz, bissetriz, mediana e altura de um triângulo.
16. Dê um exemplo de problema real que envolve a mediatriz ou bissetriz.
Gabarito — Mediatriz e Bissetriz
1. Reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio.
2. Semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes (de mesma medida).
3.
- Abrir o compasso com abertura maior que a metade do segmento. 2. Traçar arcos centrados nas duas extremidades do segmento. 3. Os arcos se cruzam em dois pontos. 4. A reta que une esses dois pontos é a mediatriz.
4.
- Centrar o compasso no vértice do ângulo e traçar um arco que corte os dois lados. 2. Centrar nos pontos de interseção e traçar dois arcos de mesma abertura. 3. Unir o vértice ao ponto de interseção dos arcos → bissetriz.
5. As três mediatrizes se encontram no circuncentro — centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
6. As três bissetrizes se encontram no incentro — centro da circunferência inscrita no triângulo.
7. No circuncentro. É equidistante dos três vértices do triângulo.
8. No incentro. É equidistante dos três lados do triângulo.
9. É o conjunto de todos os pontos do plano que são equidistantes das duas extremidades do segmento.
10. Quando precisamos encontrar um ponto equidistante de dois lados de um ângulo — por exemplo, posicionar um poste equidistante de duas paredes.
11.
- Marcar vértice do ângulo. 2. Traçar arco centrado no vértice. 3. Dos pontos do arco nos lados, traçar arcos iguais. 4. Unir vértice à interseção dos arcos.
12.
- Marcar extremidades do segmento. 2. Abrir compasso com abertura > metade. 3. Traçar arcos de cada extremidade. 4. Unir interseções dos arcos.
13. Circuncentro: equidistante dos vértices, centro da circunferência circunscrita. Incentro: equidistante dos lados, centro da circunferência inscrita. O circuncentro divide as mediatrizes em razão que depende do triângulo; o incentro divide as bissetrizes em razão 2:1 (se medida desde o vértice).
14. Pontes simétricas (mediatriz garante equilíbrio), domos e cúpulas (bissetriz na distribuição angular), divisão de terrenos equidistantes.
15. Mediatriz: perpendicular no ponto médio do lado. Bissetriz: divide o ângulo ao meio. Mediana: liga vértice ao ponto médio do lado oposto. Altura: perpendicular do vértice ao lado oposto.
16. Exemplo: três cidades formam um triângulo. Onde construir um hospital equidistante das três? No circuncentro (interseção das mediatrizes).