Matemática Elementar

Problema 1

Dado um quadrado de lado 1, qual o comprimento da sua diagonal?

Problemas

Nível Ameba (introdutório)

1. Dado um quadrado de lado 1, qual o comprimento da sua diagonal?

2. Um triângulo equilátero tem lados de comprimento 2. Qual a altura do triângulo?

3. Qual é a diagonal de um quadrado de lado 3?

4. O número $\sqrt{4}$ é racional ou irracional? E $\sqrt{5}$ ?

Nível ★ (básico)

5. Um retângulo tem lados de 1 e 2 unidades. Calcule a diagonal.

6. Um trapézio isósceles tem base menor 2, base maior 4 e altura 1. Determine o comprimento dos lados não paralelos usando o Teorema de Pitágoras.

7. Calcule o comprimento da diagonal de um retângulo com lados 3 e 4.

8. Classifique como racional ou irracional: $\sqrt{9}$ , $\sqrt{7}$ , $\sqrt{16}$ , $\sqrt{2}$ .

Nível ★★ (intermediário)

9. Dado um triângulo retângulo com catetos de 5 cm e 12 cm, encontre a hipotenusa e verifique se é racional.

10. Um hexágono regular tem lado de 1 unidade. Qual a distância entre dois vértices opostos?

11. Um losango tem diagonais medindo 3 e 4. Determine o comprimento do lado.

12. Represente na reta numérica o segmento $\sqrt{5}$ usando construção geométrica (descreva o processo).

Nível ★★★ (desafio)

13. Dado um cubo de aresta 1, qual é o comprimento da diagonal de uma de suas faces? E da diagonal do cubo?

14. Um triângulo isósceles tem base 4 e lados iguais de 5. Determine a altura correspondente à base.

15. Mostre que $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ é irracional.

16. Explique por que certas medidas geométricas não podem ser expressas por números racionais, mesmo que todos os lados das figuras tenham medidas inteiras.

Gabarito — Números Reais e Segmentos Irracionais

1. Pelo Teorema de Pitágoras: $d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ (irracional).

2. Altura de um triângulo equilátero de lado $l$ : $h = \frac{l\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ .

3. $d = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24$ (irracional).

4. $\sqrt{4} = 2$ é racional (quadrado perfeito). $\sqrt{5} \approx 2{,}236\ldots$ é irracional (5 não é quadrado perfeito).

5. $d = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ (irracional).

6. Cada lado não paralelo tem base horizontal $\frac{4 - 2}{2} = 1$ . Então: $l = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ .

7. $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ (racional).

8. $\sqrt{9} = 3$ (racional), $\sqrt{7} \approx 2{,}65$ (irracional), $\sqrt{16} = 4$ (racional), $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ (irracional).

9. $h = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ . É racional (169 é quadrado perfeito).

10. Em um hexágono regular, a distância entre vértices opostos é $2 \times \text{lado} = 2 \times 1 = 2$ (racional).

11. Cada semidiagonal: $\frac{3}{2} = 1{,}5$ e $\frac{4}{2} = 2$ . Lado: $l = \sqrt{1{,}5^2 + 2^2} = \sqrt{2{,}25 + 4} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5$ (racional).

12. Construa um segmento de comprimento 1 e outro de comprimento 2 perpendiculares entre si. A hipotenusa do triângulo retângulo formado mede $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ . Com o compasso centrado na origem e raio igual a essa hipotenusa, marque o ponto na reta numérica.

13. Diagonal da face: $d_f = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ (irracional). Diagonal do cubo: $d_c = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ (irracional).

14. A altura divide a base ao meio: $h = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21} \approx 4{,}58$ (irracional).

15. Suponha que $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$ (racional). Então $r - \sqrt{2} = \sqrt{3}$ . Elevando ao quadrado: $(r - \sqrt{2})^2 = 3 \Rightarrow r^2 - 2r\sqrt{2} + 2 = 3 \Rightarrow \sqrt{2} = \frac{r^2 - 1}{2r}$ . Isso implicaria que $\sqrt{2}$ é racional, contradição. Logo, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ é irracional.

16. Porque raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos resultam em números irracionais. Por exemplo, a diagonal de um quadrado de lado 1 é $\sqrt{2}$ , que não pode ser escrita como fração $\frac{a}{b}$ com $a, b$ inteiros.