Matemática Elementar

Problema 1

Qual é a raiz quadrada de 1?

Problemas

Nível Ameba (introdutório)

1. Qual é a raiz quadrada de 1?

2. Qual é a raiz quadrada de 4?

3. Qual é a raiz quadrada de 9?

4. Qual é a raiz quadrada de 16?

Nível ★ (básico)

5. Qual é a raiz quadrada de 25?

6. Qual é a raiz quadrada de 36?

7. Localize $\sqrt{49}$ na reta numérica entre 6 e 8.

8. Entre quais dois números inteiros consecutivos está $\sqrt{10}$ ?

Nível ★★ (intermediário)

9. Qual é a raiz quadrada de 50, aproximadamente?

10. Localize $\sqrt{2}$ e $\sqrt{3}$ na reta numérica entre 1 e 2.

11. Qual número inteiro está mais próximo de $\sqrt{45}$ ? Justifique.

12. Ordene do menor para o maior: $\sqrt{8}$ , $3$ , $\sqrt{7}$ , $2{,}5$ .

Nível ★★★ (desafio)

13. Explique por que a raiz quadrada de 2 não pode ser expressa como fração.

14. Estime e localize $\sqrt{17}$ na reta numérica entre dois inteiros consecutivos.

15. Sem usar calculadora, determine entre quais décimos consecutivos está $\sqrt{3}$ (por exemplo, entre $1{,}7$ e $1{,}8$ ).

16. Qual a importância de saber localizar raízes irracionais na reta numérica em situações práticas? Dê um exemplo.

Gabarito — Raízes Quadradas e Localização na Reta

1. $\sqrt{1} = 1$ .

2. $\sqrt{4} = 2$ .

3. $\sqrt{9} = 3$ .

4. $\sqrt{16} = 4$ .

5. $\sqrt{25} = 5$ .

6. $\sqrt{36} = 6$ .

7. $\sqrt{49} = 7$ — está entre 6 e 8, exatamente no ponto 7.

8. $3^2 = 9$ e $4^2 = 16$ . Como $9 < 10 < 16$ , temos $3 < \sqrt{10} < 4$ .

9. $7^2 = 49$ e $8^2 = 64$ . Como 50 está próximo de 49: $\sqrt{50} \approx 7{,}07$ .

10. $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ e $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ — ambos entre 1 e 2 na reta numérica, com $\sqrt{2}$ mais próximo de 1 e $\sqrt{3}$ mais próximo de 2.

11. $6^2 = 36$ e $7^2 = 49$ . $\sqrt{45} \approx 6{,}71$ . Está mais próximo de 7.

12. $\sqrt{7} \approx 2{,}65$ ; $\sqrt{8} \approx 2{,}83$ . Ordem: $2{,}5 < \sqrt{7} < \sqrt{8} < 3$ .

13. Prova por contradição: suponha $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ com $\gcd(a, b) = 1$ . Então $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , logo $a^2 = 2b^2$ , o que implica que $a$ é par ( $a = 2k$ ). Substituindo: $4k^2 = 2b^2 \Rightarrow b^2 = 2k^2$ , logo $b$ também é par. Contradição com $\gcd(a,b) = 1$ . Logo $\sqrt{2}$ é irracional.

14. $4^2 = 16$ e $5^2 = 25$ . Como $16 < 17 < 25$ , temos $4 < \sqrt{17} < 5$ . Mais precisamente, $\sqrt{17} \approx 4{,}12$ .

15. $1{,}7^2 = 2{,}89$ e $1{,}8^2 = 3{,}24$ . Como $2{,}89 < 3 < 3{,}24$ , temos $1{,}7 < \sqrt{3} < 1{,}8$ . Refinando: $1{,}73^2 = 2{,}9929$ e $1{,}74^2 = 3{,}0276$ , logo $\sqrt{3}$ está entre $1{,}73$ e $1{,}74$ .

16. Exemplo: ao medir a diagonal de um quadrado com lado 1 m, encontramos $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ m. Saber onde esse valor se localiza na reta numérica ajuda em cálculos de distância, engenharia, arquitetura e até em representação gráfica de dados.