Matemática Elementar

Problema 1

O que é um ângulo central?

Problemas

Nível Ameba (introdutório)

1. O que é um ângulo central?

2. O que é um ângulo inscrito?

3. Se um ângulo central mede $80°$ , quanto mede o arco correspondente?

4. Uma circunferência completa tem quantos graus?

Nível ★ (básico)

5. Se um arco mede $100°$ , qual é a medida do ângulo inscrito que o intercepta?

6. Se um ângulo inscrito mede $30°$ , quanto mede o arco correspondente?

7. Qual a diferença entre ângulo central e ângulo inscrito em relação ao centro da circunferência?

8. Um ângulo central mede $90°$ . Qual é a medida do arco e do ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco?

Nível ★★ (intermediário)

9. Um arco $AB$ mede $120°$ . Qual é a medida do ângulo inscrito $ACB$ que o intercepta?

10. Um ângulo central mede $140°$ . Qual é a medida de um ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco?

11. Uma corda intercepta um arco de $80°$ . Qual é a medida de um ângulo inscrito que se apoia neste arco?

12. Dois ângulos inscritos interceptam o mesmo arco de $100°$ . Eles são iguais? Justifique.

Nível ★★★ (desafio)

13. Prove que o ângulo inscrito é sempre metade do ângulo central que intercepta o mesmo arco.

14. Um círculo possui um arco de $90°$ . Quantos ângulos inscritos diferentes com mesma medida podem ser formados interceptando esse arco?

15. Um ângulo inscrito intercepta um arco de $(4x + 20)°$ e mede $(2x + 10)°$ . Determine $x$ .

16. Explique como softwares de geometria dinâmica podem ajudar na visualização da relação entre ângulos centrais e inscritos.

Gabarito — Relações entre Arcos e Ângulos na Circunferência

1. É o ângulo com vértice no centro da circunferência e lados que são raios.

2. É o ângulo com vértice sobre a circunferência e lados que são cordas.

3. $80°$ — o ângulo central tem a mesma medida do arco que determina.

4. $360°$ .

5. $\frac{100°}{2} = 50°$ — o ângulo inscrito é metade do arco.

6. $30° \times 2 = 60°$ — o arco é o dobro do ângulo inscrito.

7. O ângulo central tem vértice no centro da circunferência. O ângulo inscrito tem vértice sobre a circunferência.

8. Arco: $90°$ . Ângulo inscrito: $\frac{90°}{2} = 45°$ .

9. $\frac{120°}{2} = 60°$ .

10. $\frac{140°}{2} = 70°$ .

11. $\frac{80°}{2} = 40°$ .

12. Sim, são iguais. Todo ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco tem a mesma medida, independentemente da posição do vértice sobre a circunferência.

13. Considere o ângulo central $\angle AOB$ e o ângulo inscrito $\angle ACB$ que interceptam o mesmo arco $AB$ . Traçando o raio $OC$ , formam-se dois triângulos isósceles ( $OA = OC = OB = r$ ). Em cada um, o ângulo no centro é o dobro do ângulo na base pela propriedade do ângulo externo. Somando, $\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB$ .

14. Infinitos — qualquer ponto $C$ sobre a circunferência (no arco maior) forma um ângulo inscrito de $45°$ interceptando o arco de $90°$ .

15. O ângulo inscrito é metade do arco: $2x + 10 = \frac{4x + 20}{2} = 2x + 10$ . A equação é verdadeira para todo $x$ — qualquer valor satisfaz (identidade).

16. Softwares como GeoGebra permitem mover o vértice do ângulo inscrito ao longo da circunferência e observar que a medida não muda, confirmando visualmente que o ângulo inscrito é sempre metade do arco interceptado.