Matemática Elementar

Problema 1

O que significa dizer que dois triângulos são semelhantes?

Problemas

Nível Ameba (introdutório)

1. O que significa dizer que dois triângulos são semelhantes?

2. Quais elementos devem ser proporcionais em triângulos semelhantes?

3. Triângulos semelhantes têm ângulos iguais ou diferentes?

4. Triângulos semelhantes são necessariamente congruentes? Explique.

Nível ★ (básico)

5. Dois triângulos possuem ângulos iguais e lados proporcionais na razão 2:3. Se um lado do menor mede 6 cm, quanto mede o correspondente no maior?

6. Um triângulo tem lados 3 cm, 4 cm e 5 cm. Um triângulo semelhante tem o menor lado correspondente medindo 6 cm. Quais são os outros dois lados?

7. Verdadeiro ou falso: triângulos com dois ângulos iguais são sempre semelhantes.

8. A razão de semelhança entre dois triângulos é $\frac{1}{4}$ . Se o perímetro do maior é 48 cm, qual é o perímetro do menor?

Nível ★★ (intermediário)

9. Determine se os triângulos com lados 5 cm, 7 cm, 10 cm e 10 cm, 14 cm, 20 cm são semelhantes.

10. Em um triângulo, os lados medem 8 cm, 6 cm e 10 cm. Encontre as medidas de um triângulo semelhante com menor lado medindo 3 cm.

11. Um triângulo possui ângulos $40°$ , $60°$ e $80°$ . Quais ângulos deve ter um triângulo semelhante?

12. A razão de semelhança entre dois triângulos é $\frac{3}{5}$ . Se a área do menor é 27 cm², qual é a área do maior?

Nível ★★★ (desafio)

13. Um prédio projeta uma sombra de 18 m ao mesmo tempo que uma régua de 1 m projeta uma sombra de 1,5 m. Qual a altura do prédio?

14. Explique como a semelhança de triângulos pode ser usada para calcular distâncias inacessíveis.

15. Dois triângulos são semelhantes com razão $k$ . Mostre que a razão entre suas áreas é $k^2$ .

16. Demonstre que dois triângulos com dois pares de ângulos correspondentes iguais são necessariamente semelhantes.

Gabarito — Semelhança de Triângulos

1. Têm a mesma forma (ângulos correspondentes iguais e lados correspondentes proporcionais), mas não necessariamente o mesmo tamanho.

2. Os lados correspondentes devem ser proporcionais (mesma razão de semelhança).

3. Iguais — triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes congruentes.

4. Não necessariamente. Semelhantes exige mesma forma; congruentes exige mesma forma E mesmo tamanho. A razão de semelhança pode ser diferente de 1.

5. Razão $\frac{2}{3}$ : $6 \times \frac{3}{2} = 9$ cm.

6. Razão: $\frac{6}{3} = 2$ . Outros lados: $4 \times 2 = 8$ cm e $5 \times 2 = 10$ cm.

7. Verdadeiro — pelo critério AA (ângulo-ângulo), se dois ângulos são iguais, o terceiro também é (pois a soma é $180°$ ), e os triângulos são semelhantes.

8. A razão dos perímetros é igual à razão de semelhança: $48 \times \frac{1}{4} = 12$ cm.

9. Razões: $\frac{10}{5} = 2$ , $\frac{14}{7} = 2$ , $\frac{20}{10} = 2$ . Sim, são semelhantes (razão 1:2).

10. Menor lado do original: 6 cm. Razão: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Lados: $8 \times \frac{1}{2} = 4$ cm, $6 \times \frac{1}{2} = 3$ cm, $10 \times \frac{1}{2} = 5$ cm.

11. Os mesmos: $40°$ , $60°$ e $80°$ — triângulos semelhantes têm ângulos iguais.

12. Razão de áreas: $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$ . Área do maior: $27 \times \frac{25}{9} = 75$ cm².

13. Proporção: $\frac{1}{1{,}5} = \frac{h}{18} \Rightarrow h = \frac{18}{1{,}5} = 12$ m.

14. Colocando marcos a distâncias conhecidas e usando a semelhança entre o triângulo formado pelos marcos e o triângulo formado pelo objeto inacessível (como a largura de um rio), pode-se calcular a distância desconhecida por proporcionalidade.

15. Se os lados do menor são $a, b, c$ e os do maior são $ka, kb, kc$ , as áreas são: $A_1 = \frac{1}{2}ab\sin\theta$ e $A_2 = \frac{1}{2}(ka)(kb)\sin\theta = k^2 \cdot \frac{1}{2}ab\sin\theta = k^2 A_1$ .

16. Se dois ângulos são iguais, o terceiro é automaticamente igual (soma = $180°$ ). Com os três ângulos iguais, os lados opostos a ângulos iguais mantêm a mesma proporção pelo Teorema Fundamental da Semelhança, garantindo que os triângulos são semelhantes.