Matemática Elementar

Problema 1

O que é um triângulo retângulo?

Problemas

Nível Ameba (introdutório)

1. O que é um triângulo retângulo?

2. O que é hipotenusa?

3. Complete: No triângulo retângulo, a hipotenusa é o ______ lado.

4. Quais são os catetos de um triângulo retângulo?

Nível ★ (básico)

5. Use o Teorema de Pitágoras para calcular a hipotenusa de um triângulo com catetos de 3 cm e 4 cm.

6. Um triângulo tem hipotenusa 10 cm e um cateto mede 6 cm. Qual é o outro cateto?

7. Aplique o Teorema de Pitágoras para verificar se um triângulo com lados 5 cm, 12 cm e 13 cm é retângulo.

8. Calcule a hipotenusa de um triângulo com catetos de 5 cm e 12 cm.

Nível ★★ (intermediário)

9. Calcule a altura relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo com catetos 6 cm e 8 cm.

10. Num triângulo retângulo com hipotenusa 13 cm e cateto 5 cm, determine o outro cateto e a altura relativa à hipotenusa.

11. Em um triângulo retângulo, a projeção de um cateto sobre a hipotenusa mede 4 cm e a hipotenusa mede 10 cm. Quanto mede esse cateto?

12. Mostre como a semelhança de triângulos pode ser usada para justificar o Teorema de Pitágoras.

Nível ★★★ (desafio)

13. Um triângulo retângulo tem catetos medindo $(x + 1)$ cm e $(x - 1)$ cm, e hipotenusa de 5 cm. Encontre $x$ .

14. Demonstre o Teorema de Pitágoras com base na decomposição de áreas dos quadrados construídos sobre os lados.

15. Em um triângulo retângulo com catetos $a$ e $b$ e hipotenusa $c$ , a altura relativa à hipotenusa é $h$ . Prove que $h = \frac{ab}{c}$ .

16. Crie um problema realista envolvendo escadas, postes ou rampas e resolva com o Teorema de Pitágoras.

Gabarito — Relações Métricas no Triângulo Retângulo

1. É um triângulo que possui um ângulo interno de $90°$ (ângulo reto).

2. É o maior lado do triângulo retângulo, oposto ao ângulo reto.

3. maior.

4. São os dois lados que formam o ângulo reto.

5. $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ cm.

6. $b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm.

7. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ . Sim, é retângulo.

8. $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm.

9. Hipotenusa: $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ cm. Altura: $h = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{48}{10} = 4{,}8$ cm.

10. Cateto: $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm. Altura: $h = \frac{5 \times 12}{13} = \frac{60}{13} \approx 4{,}62$ cm.

11. Pela relação métrica: $\text{cateto}^2 = \text{projeção} \times \text{hipotenusa}$ . Logo $\text{cateto} = \sqrt{4 \times 10} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32$ cm.

12. A altura relativa à hipotenusa divide o triângulo retângulo em dois triângulos menores, ambos semelhantes entre si e ao triângulo original. Pela semelhança: $\frac{a}{c} = \frac{m}{a}$ e $\frac{b}{c} = \frac{n}{b}$ , onde $m$ e $n$ são as projeções. Logo $a^2 = mc$ e $b^2 = nc$ . Somando: $a^2 + b^2 = mc + nc = (m+n)c = c \cdot c = c^2$ .

13. $(x+1)^2 + (x-1)^2 = 25$ . $x^2 + 2x + 1 + x^2 - 2x + 1 = 25$ . $2x^2 + 2 = 25$ . $x^2 = \frac{23}{2} = 11{,}5$ . $x = \sqrt{11{,}5} \approx 3{,}39$ .

14. Construindo quadrados sobre cada lado do triângulo retângulo, a área do quadrado sobre a hipotenusa ( $c^2$ ) é igual à soma das áreas dos quadrados sobre os catetos ( $a^2 + b^2$ ). Isto pode ser verificado geometricamente por dissecação (rearranjando as peças dos quadrados menores para cobrir o quadrado maior).

15. A área do triângulo pode ser expressa de duas formas: $A = \frac{ab}{2}$ (usando os catetos) e $A = \frac{ch}{2}$ (usando a hipotenusa e a altura). Igualando: $\frac{ab}{2} = \frac{ch}{2} \Rightarrow h = \frac{ab}{c}$ .

16. Uma escada de 5 m está encostada em uma parede, com a base a 3 m do pé da parede. A que altura ela atinge a parede? $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ m.