Matemática Elementar

Problema 1

Em um triângulo retângulo com catetos de 6 cm e 8 cm, calcule a hipotenusa.

Problemas

Nível Ameba (introdutório)

1. Em um triângulo retângulo com catetos de 6 cm e 8 cm, calcule a hipotenusa.

2. Um triângulo retângulo tem hipotenusa 13 cm e um cateto de 5 cm. Qual é o outro cateto?

3. Qual é o objetivo do Teorema de Pitágoras?

4. Um quadrado tem lado 5 cm. Qual é o comprimento de sua diagonal?

Nível ★ (básico)

5. Uma escada de 10 m está apoiada a 6 m de uma parede. A que altura ela encosta na parede?

6. Um triângulo com hipotenusa 15 cm tem um cateto de 9 cm. Calcule o outro cateto.

7. Um triângulo tem lados 9 cm, 12 cm e 15 cm. Ele é retângulo? Justifique.

8. A diagonal de uma tela de TV mede 50 polegadas e a largura é 40 polegadas. Qual é a altura da tela?

Nível ★★ (intermediário)

9. Determine o comprimento de uma diagonal em um retângulo de lados 9 cm e 12 cm.

10. Uma transversal corta duas paralelas formando um triângulo com lados 5 cm, 12 cm e 13 cm. Use Pitágoras para verificar se o triângulo é retângulo.

11. Um poste de 12 m é sustentado por um cabo de aço preso no chão a 5 m da base. Qual o comprimento do cabo?

12. Um terreno triangular tem dois lados perpendiculares medindo 30 m e 40 m. Qual é o comprimento da cerca necessária para fechar o terceiro lado?

Nível ★★★ (desafio)

13. Uma rampa deve ligar dois pontos com 4 m de altura e 12 m de distância horizontal. Qual deve ser o comprimento mínimo da rampa?

14. Um losango tem diagonais de 10 cm e 24 cm. Calcule o comprimento de cada lado.

15. Um avião decola em linha reta. Quando está a 3 km de altitude e a 4 km de distância horizontal do aeroporto, qual a distância total percorrida (em linha reta)?

16. Demonstre graficamente como ocorre a verificação do Teorema de Pitágoras usando construções geométricas com quadrados sobre os lados.

Gabarito — Aplicações do Teorema de Pitágoras

1. $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm.

2. $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm.

3. Descobrir a medida de um lado desconhecido de um triângulo retângulo a partir dos outros dois lados.

4. $d = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ cm.

5. $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ m.

6. $b = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ cm.

7. $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ . Sim, é retângulo.

8. $h = \sqrt{50^2 - 40^2} = \sqrt{2500 - 1600} = \sqrt{900} = 30$ polegadas.

9. $d = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ cm.

10. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ . Sim, é retângulo.

11. $c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ m.

12. $c = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$ m.

13. $r = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \approx 12{,}65$ m.

14. Cada lado forma a hipotenusa de um triângulo retângulo com semidiagonais como catetos: $l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm.

15. $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ km.

16. Construa quadrados sobre cada lado do triângulo retângulo. A área do quadrado sobre a hipotenusa é $c^2$ . A soma das áreas dos quadrados sobre os catetos é $a^2 + b^2$ . Verifique visualmente que $a^2 + b^2 = c^2$ por rearranjamento das peças (dissecação): as partes dos dois quadrados menores preenchem exatamente o quadrado maior.