Matemática Elementar

Problema 1

O que é o plano cartesiano?

Problemas

Nível Ameba (introdutório)

1. O que é o plano cartesiano?

2. O que representa o ponto médio de um segmento de reta?

3. Indique o ponto médio do segmento entre os pontos $A(0, 0)$ e $B(4, 0)$ .

4. Qual a distância entre os pontos $A(0, 0)$ e $B(3, 0)$ ?

Nível ★ (básico)

5. Marque os pontos $A(2, 2)$ e $B(6, 6)$ no plano e indique o ponto médio.

6. Se $A(1, 3)$ e $B(5, 3)$ , qual é o comprimento do segmento $AB$ ?

7. Encontre o ponto médio do segmento entre $A(3, 4)$ e $B(7, 8)$ .

8. Calcule a distância entre $P(0, 0)$ e $Q(4, 3)$ .

Nível ★★ (intermediário)

9. Dado um triângulo com vértices $A(2, 2)$ , $B(2, 6)$ e $C(6, 2)$ , calcule o perímetro.

10. Qual é a distância entre os pontos $D(0, 0)$ e $E(6, 8)$ ?

11. Dado um retângulo com vértices em $(1, 1)$ , $(1, 4)$ , $(5, 4)$ e $(5, 1)$ , calcule seu perímetro.

12. Encontre o ponto médio de cada lado do triângulo com vértices $A(0, 0)$ , $B(6, 0)$ e $C(0, 8)$ .

Nível ★★★ (desafio)

13. Construa um losango com vértices em $(0, 0)$ , $(2, 3)$ , $(4, 0)$ e $(2, -3)$ e calcule seu perímetro.

14. Dado um triângulo com vértices $(0, 0)$ , $(0, 6)$ e $(8, 0)$ , calcule a área da figura.

15. Determine se os pontos $A(1, 1)$ , $B(4, 5)$ e $C(7, 9)$ são colineares usando distâncias.

16. Explique como o ponto médio pode ser utilizado para dividir figuras planas e facilitar o cálculo de áreas.

Gabarito — Distância e Ponto Médio no Plano Cartesiano

1. É um sistema de coordenadas com eixo $x$ (horizontal) e eixo $y$ (vertical) que permite localizar pontos no plano usando pares ordenados $(x, y)$ .

2. É o ponto que divide um segmento em duas partes iguais. Fórmula: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ .

3. $M = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (2, 0)$ .

4. $d = |3 - 0| = 3$ unidades.

5. $M = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (4, 4)$ .

6. $d = |5 - 1| = 4$ unidades (mesma coordenada $y$ ).

7. $M = \left(\frac{3+7}{2}, \frac{4+8}{2}\right) = (5, 6)$ .

8. $d = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ unidades.

9. $AB = |6 - 2| = 4$ . $AC = |6 - 2| = 4$ . $BC = \sqrt{(6-2)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66$ . Perímetro: $4 + 4 + 4\sqrt{2} \approx 13{,}66$ .

10. $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .

11. Lados: $|4 - 1| = 3$ e $|5 - 1| = 4$ . Perímetro: $2(3 + 4) = 14$ .

12. $M_{AB} = \left(\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (3, 0)$ . $M_{AC} = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (0, 4)$ . $M_{BC} = \left(\frac{6+0}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (3, 4)$ .

13. Cada lado: $\sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$ . Perímetro: $4\sqrt{13} \approx 14{,}42$ .

14. Base $= 8$ , altura $= 6$ . Área $= \frac{8 \times 6}{2} = 24$ u.a.

15. $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ . $BC = \sqrt{(7-4)^2 + (9-5)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ . $AC = \sqrt{(7-1)^2 + (9-1)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ . Como $AB + BC = 5 + 5 = 10 = AC$ , os pontos são colineares.

16. O ponto médio permite dividir segmentos em partes iguais. Em figuras planas, conectar pontos médios dos lados cria subfiguras com áreas proporcionais, facilitando o cálculo. Por exemplo, o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e divide a área em partes previsíveis.