Matemática Elementar

Problema 1

O que é uma projeção cartográfica?

Problemas

Nível Ameba (introdutório)

1. O que é uma projeção cartográfica?

2. Cite dois tipos comuns de projeções cartográficas.

3. Um mapa tem escala $1:200\,000$ . Se a distância entre duas cidades no mapa é de $8 \text{ cm}$ , qual é a distância real entre elas, em quilômetros?

Nível ★ (básico)

4. Qual é a principal deformação que ocorre na projeção cilíndrica?

5. Explique por que a projeção de Mercator distorce o tamanho dos continentes.

6. Onde a projeção cônica é mais adequada de ser usada?

Nível ★★ (intermediário)

7. Compare as projeções cilíndrica e cônica quanto às distorções de área e forma.

8. Na projeção de Mercator, o fator de distorção de área em uma latitude $\varphi$ é dado por $k = \sec^2(\varphi)$ . Calcule o fator de distorção na latitude de $60°$ e determine: se a área real de um território nessa latitude é de $500\,000 \text{ km}^2$ , qual é a área aparente no mapa?

9. Qual projeção é mais indicada para preservar ângulos em mapas náuticos? Por quê?

Nível ★★★ (avançado)

10. Duas cidades estão nas coordenadas geográficas $A = (0°,\; 0°)$ e $B = (0°,\; 90°\text{O})$ . Sabendo que o raio médio da Terra é $R = 6\,371 \text{ km}$ , calcule a distância do grande círculo entre as duas cidades. Use $\pi \approx 3{,}1416$ .

11. Em um projeto de geolocalização para agricultura, qual projeção cartográfica seria mais adequada e por quê?

12. Explique como o uso de tecnologia digital pode minimizar os erros de projeção na visualização de mapas.

Gabarito — Projeções cartográficas

1. Representação da superfície curva da Terra em um plano.

2. Projeções cilíndrica e cônica.

3. A escala $1:200\,000$ significa que $1 \text{ cm}$ no mapa corresponde a $200\,000 \text{ cm}$ na realidade.

$8 \text{ cm} \times 200\,000 = 1\,600\,000 \text{ cm}$

Convertendo para quilômetros:

$1\,600\,000 \text{ cm} = 16\,000 \text{ m} = 16 \text{ km}$

A distância real entre as cidades é de $16 \text{ km}$ .

4. Distorção das áreas próximas aos polos.

5. Porque ela mantém ângulos, mas exagera o tamanho das áreas perto dos polos.

6. Em regiões de latitudes médias, como EUA ou Europa.

7. A cilíndrica preserva ângulos, mas distorce áreas. A cônica distorce menos áreas em regiões médias.

8. Calculamos $\sec(60°)$ :

$\sec(60°) = \frac{1}{\cos(60°)} = \frac{1}{0{,}5} = 2$

O fator de distorção de área é:

$k = \sec^2(60°) = 2^2 = 4$

Isso significa que áreas na latitude $60°$ aparecem $4$ vezes maiores na projeção de Mercator. Portanto, a área aparente no mapa é:

$A_{\text{aparente}} = 500\,000 \times 4 = 2\,000\,000 \text{ km}^2$

O fator de distorção é $k = 4$ e a área aparente é $2\,000\,000 \text{ km}^2$ .

9. Projeção de Mercator, pois preserva ângulos e é útil para navegação.

10. Ambas as cidades estão no equador ( $\varphi_1 = \varphi_2 = 0°$ ), com longitudes $\lambda_1 = 0°$ e $\lambda_2 = 90°$ . Pela lei dos cossenos esférica:

$\cos\!\left(\frac{d}{R}\right) = \sin\varphi_1\sin\varphi_2 + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos(\Delta\lambda)$

Substituindo:

$\cos\!\left(\frac{d}{R}\right) = \sin(0°)\sin(0°) + \cos(0°)\cos(0°)\cos(90°) = 0 + 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$

Logo:

$\frac{d}{R} = \arccos(0) = 90° = \frac{\pi}{2} \text{ rad}$

$d = R \cdot \frac{\pi}{2} = 6\,371 \times \frac{3{,}1416}{2} = 6\,371 \times 1{,}5708 \approx 10\,008 \text{ km}$

A distância do grande círculo entre as duas cidades é aproximadamente $10\,008 \text{ km}$ .

11. Projeção cônica equidistante – adapta-se melhor às latitudes médias e áreas extensas.

12. Com softwares e SIGs, é possível ajustar projeções dinamicamente para cada análise.