Matemática Elementar

Problema 1

Classifique cada um dos números abaixo como primo ou composto. Justifique usando critérios de divisibilidade.

a) $37$ b) $51$ c) $89$ d) $84$

Problemas

1. Classifique cada um dos números abaixo como primo ou composto. Justifique usando critérios de divisibilidade.

a) $37$ b) $51$ c) $89$ d) $84$

2. Usando os critérios de divisibilidade, determine se o número $2.340$ é divisível por $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $9$ e $10$ . Organize sua resposta em uma tabela.

3. Uma professora quer distribuir $72$ cadernos igualmente entre os alunos de sua turma, sem que sobre nenhum caderno. Quais são todas as quantidades possíveis de alunos na turma? (Considere turmas com pelo menos $2$ alunos.)

4. Dois sinais luminosos piscam em intervalos regulares: o primeiro pisca a cada $8$ segundos e o segundo a cada $12$ segundos. Se eles piscaram juntos agora, daqui a quantos segundos vão piscar juntos novamente?

5. Em uma feirinha escolar, há $42$ brigadeiros e $30$ pães de queijo para serem distribuídos em pratos iguais, de modo que cada prato tenha a mesma quantidade de brigadeiros e a mesma quantidade de pães de queijo. Qual é o maior número de pratos que podem ser montados? Quantos brigadeiros e quantos pães de queijo haverá em cada prato?

Gabarito — Primos e Divisibilidade

1. a) $37$ é primo. Testamos a divisibilidade por $2$ , $3$ e $5$ (primos menores que $\sqrt{37} \approx 6{,}1$ ): $37$ é ímpar (não divisível por $2$ ), a soma dos algarismos é $3 + 7 = 10$ (não divisível por $3$ ), e não termina em $0$ ou $5$ (não divisível por $5$ ). Logo, $37$ é primo.

b) $51$ é composto. A soma dos algarismos é $5 + 1 = 6$ , que é divisível por $3$ . De fato, $51 = 3 \times 17$ .

c) $89$ é primo. Testamos $2$ , $3$ , $5$ e $7$ (primos menores que $\sqrt{89} \approx 9{,}4$ ): $89$ é ímpar, $8 + 9 = 17$ (não divisível por $3$ ), não termina em $0$ ou $5$ , e $89 \div 7 \approx 12{,}7$ (não é inteiro). Logo, $89$ é primo.

d) $84$ é composto. É par (divisível por $2$ ) e $84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2^2 \times 3 \times 7$ .

2. Fatoração: $2.340 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 13$ .

| Divisor | Critério | Divisível? | |---------|----------|------------| | $2$ | Termina em $0$ (par) | Sim | | $3$ | $2 + 3 + 4 + 0 = 9$ , divisível por $3$ | Sim | | $4$ | Últimos dois algarismos: $40 \div 4 = 10$ | Sim | | $5$ | Termina em $0$ | Sim | | $6$ | Divisível por $2$ e por $3$ | Sim | | $9$ | $2 + 3 + 4 + 0 = 9$ , divisível por $9$ | Sim | | $10$ | Termina em $0$ | Sim |

$2.340$ é divisível por todos os sete divisores testados.

3. Precisamos dos divisores de $72$ que sejam maiores ou iguais a $2$ :

$72 = 2^3 \times 3^2$

Divisores de $72$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72$ .

Excluindo $1$ , as quantidades possíveis de alunos são: $2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36$ e $72$ .

São $11$ possibilidades. Por exemplo, com $8$ alunos cada um recebe $72 \div 8 = 9$ cadernos.

4. Precisamos do MMC (mínimo múltiplo comum) de $8$ e $12$ .

$8 = 2^3$ e $12 = 2^2 \times 3$ .

$\text{MMC}(8, 12) = 2^3 \times 3 = 24$ .

Os sinais vão piscar juntos novamente daqui a $24$ segundos.

5. Precisamos do MDC (máximo divisor comum) de $42$ e $30$ .

$42 = 2 \times 3 \times 7$ e $30 = 2 \times 3 \times 5$ .

$\text{MDC}(42, 30) = 2 \times 3 = 6$ .

O maior número de pratos é $6$ . Cada prato terá:

$42 \div 6 = 7$ brigadeiros
$30 \div 6 = 5$ pães de queijo