Sólidos Geométricos

1. | Sólido | $V$ | $A$ | $F$ | $V - A + F$ | |--------|-----|-----|-----|-------------| | Cubo | $8$ | $12$ | $6$ | $8 - 12 + 6 = 2$ | | Prisma triangular | $6$ | $9$ | $5$ | $6 - 9 + 5 = 2$ | | Pirâmide quadrangular | $5$ | $8$ | $5$ | $5 - 8 + 5 = 2$ | | Prisma hexagonal | $12$ | $18$ | $8$ | $12 - 18 + 8 = 2$ |

A relação de Euler ($V - A + F = 2$) é válida para todos os sólidos da tabela.

2. A base é um pentágono ($5$ lados).

a) $5$ faces laterais (uma para cada lado da base).

b) $5$ vértices da base $+ 1$ vértice do ápice $= 6$ vértices.

c) $5$ arestas da base $+ 5$ arestas laterais $= 10$ arestas.

d) Cada face lateral é um triângulo.

3. a) Verdadeira. Todo quadrado tem quatro ângulos retos e lados opostos paralelos, então satisfaz a definição de retângulo (quadrilátero com quatro ângulos retos).

b) Falsa. Um retângulo pode ter lados de medidas diferentes (por exemplo, $3 \times 5$). Para ser quadrado, todos os lados devem ser iguais.

c) Verdadeira. Todo losango tem dois pares de lados paralelos (propriedade do paralelogramo). Além disso, seus quatro lados são congruentes.

d) Falsa. Um trapézio tem apenas um par de lados paralelos, enquanto o paralelogramo exige dois pares de lados paralelos.

4. a) Paralelogramo (não retângulo, não losango): lados opostos paralelos e congruentes, mas ângulos diferentes de $90°$ e lados adjacentes com medidas diferentes. Exemplo: lados $4\text{ cm}$ e $6\text{ cm}$, ângulos de $60°$ e $120°$.

b) Losango (não quadrado): quatro lados congruentes, lados opostos paralelos, mas ângulos diferentes de $90°$. Exemplo: lados de $5\text{ cm}$, ângulos de $70°$ e $110°$.

c) Trapézio isósceles: um par de lados paralelos (bases), e os dois lados não paralelos (laterais) são congruentes. Exemplo: bases de $8\text{ cm}$ e $4\text{ cm}$, lados laterais de $5\text{ cm}$, ângulos da base maior iguais entre si.

5. Um prisma tem $2$ bases e faces laterais retangulares. Se o total de faces é $10$, então as faces laterais são $10 - 2 = 8$. Cada face lateral corresponde a um lado da base, então a base é um octógono ($8$ lados).

Para um prisma de base com $n$ lados:

• $V = 2n$, $A = 3n$, $F = n + 2$.

Com $n = 8$:

• $V = 2 \times 8 = 16$ vértices
• $A = 3 \times 8 = 24$ arestas

Verificação: $16 - 24 + 10 = 2$. Confere com Euler.