Matemática Elementar

Problema 1

Em uma malha quadriculada, um retângulo tem vértices em $(1, 1)$ , $(4, 1)$ , $(4, 3)$ e $(1, 3)$ .

a) Quais são as medidas dos lados desse retângulo? b) Desenhe (ou descreva as coordenadas de) um retângulo ampliado com fator $2$ (o dobro), mantendo o vértice inferior esquerdo em $(1, 1)$ . c) Quais são as medidas dos lados da figura ampliada? d) As duas figuras são semelhantes? Justifique.

Problemas

1. Em uma malha quadriculada, um retângulo tem vértices em $(1, 1)$ , $(4, 1)$ , $(4, 3)$ e $(1, 3)$ .

2. Um triângulo tem lados medindo $3\text{ cm}$ , $4\text{ cm}$ e $5\text{ cm}$ .

a) Desenhe (ou descreva) uma redução dessa figura com fator $\dfrac{1}{2}$ . Quais são as medidas dos lados da figura reduzida? b) A figura reduzida e a original são semelhantes? Justifique. c) São congruentes? Justifique.

3. Usando régua e esquadro, descreva passo a passo como traçar uma reta paralela a uma reta $r$ dada, passando por um ponto $P$ que não pertence a $r$ .

4. Explique, passo a passo, como usar a régua e o esquadro para traçar uma reta perpendicular a uma reta $s$ dada, passando por um ponto $Q$ que pertence a $s$ .

5. Em uma malha quadriculada, uma letra "L" é formada pelos quadradinhos nas posições $(1,1)$ , $(1,2)$ , $(1,3)$ , $(1,4)$ e $(2,1)$ .

a) Desenhe (ou descreva) uma ampliação com fator $3$ dessa letra, mantendo o canto inferior esquerdo em $(1,1)$ . b) Quantos quadradinhos a figura original ocupa? c) Quantos quadradinhos a figura ampliada ocupa? d) Qual é a razão entre as áreas (ampliada $\div$ original)?

Gabarito — Figuras Semelhantes e Construções

1. a) Lado horizontal: $4 - 1 = 3$ unidades. Lado vertical: $3 - 1 = 2$ unidades. O retângulo mede $3 \times 2$ .

b) Com fator $2$ , cada dimensão dobra. Mantendo $(1, 1)$ como vértice inferior esquerdo:

$(1, 1)$ , $(7, 1)$ , $(7, 5)$ , $(1, 5)$ .

c) Lado horizontal: $7 - 1 = 6$ unidades. Lado vertical: $5 - 1 = 4$ unidades. A figura ampliada mede $6 \times 4$ .

d) Sim, são semelhantes. A razão entre os lados correspondentes é constante: $\dfrac{6}{3} = \dfrac{4}{2} = 2$ . Figuras semelhantes têm a mesma forma (mesmos ângulos) e lados proporcionais.

2. a) Com fator $\dfrac{1}{2}$ , cada lado é dividido por $2$ :

$3 \div 2 = 1{,}5\text{ cm}$
$4 \div 2 = 2\text{ cm}$
$5 \div 2 = 2{,}5\text{ cm}$

b) Sim, são semelhantes. A razão entre os lados correspondentes é constante ( $\dfrac{1}{2}$ ) e os ângulos são iguais.

c) Não, não são congruentes. Figuras congruentes têm lados com as mesmas medidas. Aqui, os lados da figura reduzida são menores que os da original.

3. Passo a passo:

Apoie um dos catetos (lado reto) do esquadro sobre a reta $r$ .
Encoste a régua no outro cateto do esquadro, firmemente.
Mantendo a régua fixa, deslize o esquadro ao longo da régua até que o cateto apoiado passe pelo ponto $P$ .
Trace a reta ao longo do cateto do esquadro que passa por $P$ .

Essa reta é paralela a $r$ porque o esquadro deslizou mantendo o mesmo ângulo com a régua.

4. Passo a passo:

Posicione a régua sobre a reta $s$ .
Apoie um dos catetos do esquadro na régua, de modo que o outro cateto fique na vertical.
Deslize o esquadro ao longo da régua até que o cateto vertical passe pelo ponto $Q$ .
Trace a reta ao longo desse cateto vertical, passando por $Q$ .

Essa reta é perpendicular a $s$ porque forma um ângulo de $90°$ com ela (garantido pelo ângulo reto do esquadro).

5. a) Com fator $3$ , cada quadradinho da figura original se transforma em um bloco de $3 \times 3$ quadradinhos. As posições do "L" ampliado cobrem:

Coluna da esquerda (3 colunas de largura): $x$ de $1$ a $3$ , $y$ de $1$ a $12$
Base (3 linhas de altura): $x$ de $4$ a $6$ , $y$ de $1$ a $3$

b) A figura original ocupa $5$ quadradinhos.

c) Cada quadradinho original vira $3 \times 3 = 9$ quadradinhos. Total: $5 \times 9 = 45$ quadradinhos.

d) Razão entre as áreas: $\dfrac{45}{5} = 9 = 3^2$ . Ao ampliar com fator $k$ , a área é multiplicada por $k^2$ .