Matemática Elementar

Problema 1

A planta baixa de um apartamento foi desenhada na escala $1 : 50$ (cada $1\text{ cm}$ no desenho representa $50\text{ cm}$ na realidade). Na planta, a sala mede $8\text{ cm}$ de comprimento por $6\text{ cm}$ de largura.

a) Quais são as dimensões reais da sala (em metros)? b) Qual é a área real da sala?

Problemas

1. A planta baixa de um apartamento foi desenhada na escala $1 : 50$ (cada $1\text{ cm}$ no desenho representa $50\text{ cm}$ na realidade). Na planta, a sala mede $8\text{ cm}$ de comprimento por $6\text{ cm}$ de largura.

a) Quais são as dimensões reais da sala (em metros)? b) Qual é a área real da sala?

2. Observe a vista aérea de uma quadra esportiva retangular. Na planta (escala $1 : 200$ ), a quadra mede $14\text{ cm} \times 7\text{ cm}$ .

a) Quais são as dimensões reais da quadra? b) Qual é o perímetro real da quadra? c) Se um atleta der $5$ voltas completas ao redor da quadra, quantos metros ele percorrerá?

3. Um quadrado tem lado medindo $4\text{ cm}$ .

a) Calcule seu perímetro e sua área. b) Se triplicarmos o lado (novo lado $= 12\text{ cm}$ ), qual será o novo perímetro? E a nova área? c) Compare: por quanto o perímetro foi multiplicado? E a área?

4. Uma praça quadrada tem lado de $20\text{ m}$ . O prefeito deseja ampliar a praça, dobrando o comprimento de cada lado.

a) Qual é o perímetro da praça original? b) Qual será o perímetro da praça ampliada? c) Qual é a área da praça original? d) Qual será a área da praça ampliada? e) A prefeitura afirmou que "a praça vai dobrar de tamanho". Essa afirmação está correta? Justifique.

5. Na planta baixa de uma casa (escala $1 : 100$ ), o quarto de Lucas mede $3{,}5\text{ cm} \times 3\text{ cm}$ e a cozinha mede $2{,}5\text{ cm} \times 3\text{ cm}$ .

a) Quais são as dimensões reais do quarto e da cozinha? b) Qual cômodo tem maior área real? Qual é a diferença de área entre eles? c) Lucas quer colocar rodapé em todo o perímetro do seu quarto, exceto na porta (que tem $0{,}8\text{ m}$ de largura). Quantos metros de rodapé ele precisa comprar?

Gabarito — Plantas Baixas e Perímetro

1. Escala $1 : 50$ significa que $1\text{ cm}$ no desenho $= 50\text{ cm}$ na realidade.

a) Comprimento real: $8 \times 50 = 400\text{ cm} = 4\text{ m}$ . Largura real: $6 \times 50 = 300\text{ cm} = 3\text{ m}$ . A sala mede $4\text{ m} \times 3\text{ m}$ .

b) Área real: $4 \times 3 = 12\text{ m}^2$ .

2. Escala $1 : 200$ .

a) Comprimento real: $14 \times 200 = 2800\text{ cm} = 28\text{ m}$ . Largura real: $7 \times 200 = 1400\text{ cm} = 14\text{ m}$ . A quadra mede $28\text{ m} \times 14\text{ m}$ .

b) Perímetro real: $2 \times (28 + 14) = 2 \times 42 = 84\text{ m}$ .

c) Em $5$ voltas: $5 \times 84 = 420\text{ m}$ .

3. a) Lado $= 4\text{ cm}$ .

Perímetro: $4 \times 4 = 16\text{ cm}$ .
Área: $4^2 = 16\text{ cm}^2$ .

b) Lado $= 12\text{ cm}$ .

Perímetro: $4 \times 12 = 48\text{ cm}$ .
Área: $12^2 = 144\text{ cm}^2$ .

c) O perímetro foi multiplicado por $\dfrac{48}{16} = 3$ (mesmo fator de ampliação do lado). A área foi multiplicada por $\dfrac{144}{16} = 9 = 3^2$ (o quadrado do fator de ampliação).

Regra geral: ao multiplicar o lado por $k$ , o perímetro é multiplicado por $k$ e a área é multiplicada por $k^2$ .

4. a) Perímetro original: $4 \times 20 = 80\text{ m}$ .

b) Novo lado: $2 \times 20 = 40\text{ m}$ . Novo perímetro: $4 \times 40 = 160\text{ m}$ .

c) Área original: $20^2 = 400\text{ m}^2$ .

d) Área ampliada: $40^2 = 1600\text{ m}^2$ .

e) A afirmação está incorreta. O perímetro dobrou ( $80 \to 160$ ), mas a área quadruplicou ( $400 \to 1600$ ). Dobrar o lado significa multiplicar a área por $2^2 = 4$ . A praça ficou quatro vezes maior em área, não duas vezes.

5. Escala $1 : 100$ ( $1\text{ cm} = 100\text{ cm} = 1\text{ m}$ ).

a) Quarto: $3{,}5 \times 1 = 3{,}5\text{ m}$ por $3 \times 1 = 3\text{ m}$ $\Rightarrow$ $3{,}5\text{ m} \times 3\text{ m}$ . Cozinha: $2{,}5\text{ m} \times 3\text{ m}$ .

b) Área do quarto: $3{,}5 \times 3 = 10{,}5\text{ m}^2$ . Área da cozinha: $2{,}5 \times 3 = 7{,}5\text{ m}^2$ . O quarto tem maior área. Diferença: $10{,}5 - 7{,}5 = 3\text{ m}^2$ .

c) Perímetro do quarto: $2 \times (3{,}5 + 3) = 2 \times 6{,}5 = 13\text{ m}$ . Descontando a porta: $13 - 0{,}8 = 12{,}2\text{ m}$ de rodapé.