Matemática Elementar

Problema 1

Uma urna contém $3$ bolas vermelhas, $5$ bolas azuis e $2$ bolas verdes. Ao retirar uma bola ao acaso, determine a probabilidade de:

a) Sair uma bola azul. Expresse o resultado como fração, decimal e porcentagem. b) Sair uma bola vermelha. Expresse como fração, decimal e porcentagem. c) Não sair uma bola verde.

Problemas

1. Uma urna contém $3$ bolas vermelhas, $5$ bolas azuis e $2$ bolas verdes. Ao retirar uma bola ao acaso, determine a probabilidade de:

a) Sair uma bola azul. Expresse o resultado como fração, decimal e porcentagem. b) Sair uma bola vermelha. Expresse como fração, decimal e porcentagem. c) Não sair uma bola verde.

2. Um dado justo de $6$ faces é lançado uma vez. Calcule a probabilidade de cada evento e expresse como fração:

a) Sair o número $4$ . b) Sair um número par. c) Sair um número maior que $4$ . d) Sair um número de $1$ a $6$ (evento certo). e) Sair o número $7$ (evento impossível).

3. Em um jogo de tabuleiro, o jogador gira uma roleta dividida em $8$ setores iguais, numerados de $1$ a $8$ .

a) Qual é a probabilidade de parar em um número ímpar? b) Qual é a probabilidade de parar em um número maior que $6$ ? c) Se o jogador girar a roleta $40$ vezes, aproximadamente quantas vezes se espera que caia em número ímpar?

4. Numa caixa há $12$ fichas numeradas de $1$ a $12$ . Uma ficha é sorteada ao acaso.

a) Qual é a probabilidade de sair um número múltiplo de $3$ ? b) Qual é a probabilidade de sair um número primo? c) Expresse ambas as probabilidades como fração, decimal e porcentagem.

5. Maria e João fizeram um experimento: lançaram uma moeda $50$ vezes e obtiveram $28$ caras e $22$ coroas.

a) Qual é a probabilidade teórica de sair cara em um lançamento de moeda justa? b) Qual foi a frequência relativa de cara no experimento? c) Os resultados experimentais ficaram próximos da probabilidade teórica? Justifique. d) Se lançassem a moeda $1000$ vezes, o que você esperaria que acontecesse com a frequência relativa de cara?

Gabarito — Probabilidade

1. Total de bolas: $3 + 5 + 2 = 10$ .

a) $P(\text{azul}) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$ .

b) $P(\text{vermelha}) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3 = 30\%$ .

c) $P(\text{não verde}) = 1 - P(\text{verde}) = 1 - \dfrac{2}{10} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 = 80\%$ .

2. Total de resultados possíveis: $6$ .

a) $P(4) = \dfrac{1}{6}$ .

b) Números pares: $\{2, 4, 6\}$ . $P(\text{par}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ .

c) Números maiores que $4$ : $\{5, 6\}$ . $P(> 4) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ .

d) $P(\text{de 1 a 6}) = \dfrac{6}{6} = 1$ (evento certo: probabilidade $= 100\%$ ).

e) $P(7) = \dfrac{0}{6} = 0$ (evento impossível: probabilidade $= 0\%$ ).

3. a) Números ímpares em $\{1, 2, \ldots, 8\}$ : $\{1, 3, 5, 7\}$ $\Rightarrow$ $4$ setores.

$P(\text{ímpar}) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} = 50\%$ .

b) Números maiores que $6$ : $\{7, 8\}$ $\Rightarrow$ $2$ setores.

$P(> 6) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 25\%$ .

c) Valor esperado: $40 \times \dfrac{1}{2} = 20$ vezes em número ímpar (aproximadamente).

4. a) Múltiplos de $3$ em $\{1, 2, \ldots, 12\}$ : $\{3, 6, 9, 12\}$ $\Rightarrow$ $4$ fichas.

$P(\text{múltiplo de 3}) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333 \approx 33{,}3\%$ .

b) Primos em $\{1, 2, \ldots, 12\}$ : $\{2, 3, 5, 7, 11\}$ $\Rightarrow$ $5$ fichas.

$P(\text{primo}) = \dfrac{5}{12} \approx 0{,}417 \approx 41{,}7\%$ .

c) Resumo:

| Evento | Fração | Decimal | Porcentagem | |--------|--------|---------|-------------| | Múltiplo de $3$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\approx 0{,}333$ | $\approx 33{,}3\%$ | | Primo | $\dfrac{5}{12}$ | $\approx 0{,}417$ | $\approx 41{,}7\%$ |

5. a) Probabilidade teórica: $P(\text{cara}) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$ .

b) Frequência relativa: $\dfrac{28}{50} = 0{,}56 = 56\%$ .

c) Os resultados ficaram razoavelmente próximos da probabilidade teórica. A diferença é $56\% - 50\% = 6$ pontos percentuais, o que é normal em um número relativamente pequeno de lançamentos ( $50$ ).

d) Com $1000$ lançamentos, a frequência relativa de cara tenderia a ficar mais próxima de $50\%$ . Quanto maior o número de repetições, mais a frequência relativa se aproxima da probabilidade teórica (essa ideia é conhecida como Lei dos Grandes Números).