Matemática Elementar

Problema 1

Uma roda de bicicleta tem diâmetro de $70 \text{ cm}$ . Sabendo que $\pi \approx 3{,}14$ , calcule o comprimento da circunferência dessa roda.

Problemas

1. Uma roda de bicicleta tem diâmetro de $70 \text{ cm}$ . Sabendo que $\pi \approx 3{,}14$ , calcule o comprimento da circunferência dessa roda.

2. Um estudante mediu o comprimento de uma circunferência e encontrou $C = 62{,}8 \text{ cm}$ . Usando $\pi \approx 3{,}14$ , determine o diâmetro dessa circunferência.

3. Explique por que o número $\pi$ é definido como a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Essa razão depende do tamanho da circunferência? Justifique.

4. Arquimedes estimou o valor de $\pi$ inscrevendo e circunscrevendo polígonos regulares em uma circunferência. Ele concluiu que $3{,}1408 < \pi < 3{,}1429$ . Considerando o valor atual $\pi \approx 3{,}14159$ , o resultado de Arquimedes estava correto? Justifique.

5. Três tampas circulares têm diâmetros $d_1 = 10 \text{ cm}$ , $d_2 = 15 \text{ cm}$ e $d_3 = 20 \text{ cm}$ . Para cada uma, calcule a razão $\dfrac{C}{d}$ (usando $\pi \approx 3{,}14$ ) e verifique que todas dão o mesmo resultado. O que esse fato comprova sobre $\pi$ ?

Gabarito — O Número Pi e a Circunferência

1. $C = \pi \times d = 3{,}14 \times 70 = 219{,}8 \text{ cm}$

O comprimento da circunferência da roda é $219{,}8 \text{ cm}$ .

2. $d = \frac{C}{\pi} = \frac{62{,}8}{3{,}14} = 20 \text{ cm}$

O diâmetro da circunferência é $20 \text{ cm}$ .

3. O número $\pi$ é definido como $\pi = \dfrac{C}{d}$ , onde $C$ é o comprimento da circunferência e $d$ é o diâmetro. Essa razão não depende do tamanho da circunferência — para qualquer circunferência, a divisão do comprimento pelo diâmetro sempre resulta no mesmo valor (aproximadamente $3{,}14159\ldots$ ). Isso ocorre porque todas as circunferências são figuras semelhantes entre si.

4. Sim, a estimativa de Arquimedes estava correta. O valor $\pi \approx 3{,}14159$ está dentro do intervalo que ele determinou: $3{,}1408 < 3{,}14159 < 3{,}1429$ . Isso mostra a precisão notável do método geométrico de Arquimedes, que usou polígonos de até 96 lados.

Tampa 1: $C_1 = 3{,}14 \times 10 = 31{,}4 \text{ cm}$ → $\dfrac{C_1}{d_1} = \dfrac{31{,}4}{10} = 3{,}14$
Tampa 2: $C_2 = 3{,}14 \times 15 = 47{,}1 \text{ cm}$ → $\dfrac{C_2}{d_2} = \dfrac{47{,}1}{15} = 3{,}14$
Tampa 3: $C_3 = 3{,}14 \times 20 = 62{,}8 \text{ cm}$ → $\dfrac{C_3}{d_3} = \dfrac{62{,}8}{20} = 3{,}14$

Em todos os casos, $\dfrac{C}{d} = 3{,}14$ . Isso comprova que $\pi$ é uma constante universal: a razão entre o comprimento de qualquer circunferência e seu diâmetro é sempre a mesma.