Matemática Elementar

Problema 1

Em uma fábrica, a quantidade de peças produzidas ( $y$ ) é diretamente proporcional ao número de horas de trabalho ( $x$ ). Sabendo que em $4$ horas são produzidas $120$ peças:

a) Determine a constante de proporcionalidade $k$ .

b) Escreva a sentença algébrica que relaciona $y$ e $x$ .

c) Quantas peças são produzidas em $7$ horas?

Problemas

1. Em uma fábrica, a quantidade de peças produzidas ( $y$ ) é diretamente proporcional ao número de horas de trabalho ( $x$ ). Sabendo que em $4$ horas são produzidas $120$ peças:

a) Determine a constante de proporcionalidade $k$ .

b) Escreva a sentença algébrica que relaciona $y$ e $x$ .

c) Quantas peças são produzidas em $7$ horas?

2. A velocidade ( $v$ , em km/h) de um carro é inversamente proporcional ao tempo ( $t$ , em horas) necessário para percorrer uma distância fixa de $240 \text{ km}$ .

a) Escreva a sentença algébrica que relaciona $v$ e $t$ .

b) Complete a tabela:

| $v$ (km/h) | 40 | 60 | 80 | 120 | |---|---|---|---|---| | $t$ (horas) | ? | ? | ? | ? |

c) Represente os pares $(v, t)$ no plano cartesiano e descreva o formato do gráfico.

3. Uma loja vende cadernos a $R\$ 12{,}00 $a unidade. Considere$ q $a quantidade de cadernos comprados e$ P$ o preço total.

a) $P$ e $q$ são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? Justifique.

b) Escreva a sentença algébrica.

c) Represente a relação no plano cartesiano para $q = 1, 2, 3, 4, 5$ .

4. Três torneiras idênticas enchem um tanque em $6$ horas. Se forem usadas $6$ torneiras idênticas, em quantas horas o tanque será cheio? Explique se as grandezas (número de torneiras e tempo) são diretamente ou inversamente proporcionais.

5. Analise as duas situações abaixo e classifique cada uma como proporcionalidade direta ou inversa. Justifique e escreva a sentença algébrica correspondente.

Situação A: Um ciclista percorre $15 \text{ km}$ a cada hora. A distância total ( $d$ ) depende do tempo ( $t$ ) de pedalada.

Situação B: Uma herança de $R\$ 60.000{,}00 $será dividida igualmente entre$ n $herdeiros. O valor ($ V $) que cada herdeiro recebe depende de$ n$.

Gabarito — Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais

1. a) $k = \dfrac{y}{x} = \dfrac{120}{4} = 30$ peças por hora.

b) $y = 30x$

c) $y = 30 \times 7 = 210$ peças.

2. a) $v \times t = 240$ , logo $t = \dfrac{240}{v}$ (ou $v = \dfrac{240}{t}$ ).

| $v$ (km/h) | 40 | 60 | 80 | 120 | |---|---|---|---|---| | $t$ (horas) | 6 | 4 | 3 | 2 |

c) Os pontos $(40, 6)$ , $(60, 4)$ , $(80, 3)$ , $(120, 2)$ formam uma curva (hipérbole) que se aproxima dos eixos sem tocá-los. O gráfico de grandezas inversamente proporcionais nunca é uma reta — à medida que $v$ aumenta, $t$ diminui de forma não linear.

3. a) São diretamente proporcionais, pois ao dobrar a quantidade de cadernos, o preço total também dobra. A razão $\dfrac{P}{q} = 12$ é constante.

b) $P = 12q$

c) Os pontos $(1, 12)$ , $(2, 24)$ , $(3, 36)$ , $(4, 48)$ , $(5, 60)$ formam uma reta que passa pela origem, confirmando a proporcionalidade direta.

4. As grandezas são inversamente proporcionais: mais torneiras resultam em menos tempo.

$3 \times 6 = 6 \times t \implies t = \frac{18}{6} = 3 \text{ horas}$

Com $6$ torneiras, o tanque enche em $3$ horas.

5. Situação A: Proporcionalidade direta. Dobrando o tempo, a distância dobra. Constante $k = 15$ , sentença: $d = 15t$ .

Situação B: Proporcionalidade inversa. Aumentando o número de herdeiros, o valor de cada um diminui. Constante $k = 60000$ , sentença: $V = \dfrac{60000}{n}$ .