Matemática Elementar

Problema 1

Ao lançar duas moedas simultaneamente, liste todos os resultados possíveis (espaço amostral). Em seguida, calcule a probabilidade de obter exatamente uma cara e uma coroa.

Problemas

1. Ao lançar duas moedas simultaneamente, liste todos os resultados possíveis (espaço amostral). Em seguida, calcule a probabilidade de obter exatamente uma cara e uma coroa.

2. Uma senha de $2$ dígitos é formada usando apenas os algarismos $1$ , $2$ e $3$ (com repetição permitida).

a) Utilize o princípio multiplicativo para determinar quantas senhas diferentes são possíveis.

b) Qual a probabilidade de uma senha escolhida ao acaso ter os dois dígitos iguais?

3. Um restaurante oferece o seguinte cardápio de almoço:

Prato principal: frango, carne ou peixe
Bebida: suco ou água
Sobremesa: pudim ou fruta

a) Quantas combinações diferentes de refeição (prato + bebida + sobremesa) são possíveis?

b) Qual a probabilidade de um cliente, escolhendo ao acaso, pedir frango com suco e pudim?

4. Um dado justo de $6$ faces é lançado duas vezes. Considere os eventos:

$A$ : a soma dos resultados é $7$
$B$ : a soma dos resultados é $12$
$C$ : a soma dos resultados é maior que $12$

a) Determine o número total de elementos do espaço amostral.

b) Calcule $P(A)$ , $P(B)$ e $P(C)$ .

c) Verifique que $P(A) + P(B) + P(C) \neq 1$ e explique por que isso não contradiz a propriedade de que a soma de todas as probabilidades é $1$ .

5. Em uma urna há $3$ bolas vermelhas ( $V_1, V_2, V_3$ ) e $2$ bolas azuis ( $A_1, A_2$ ). Duas bolas são retiradas em sequência, sem reposição.

a) Usando o princípio multiplicativo, determine o número total de resultados possíveis.

b) Calcule a probabilidade de as duas bolas serem vermelhas.

c) Calcule a probabilidade de pelo menos uma bola ser azul e verifique que $P(\text{duas vermelhas}) + P(\text{pelo menos uma azul}) = 1$ .

Gabarito — Probabilidade e Espaço Amostral

1. Espaço amostral: $\{(Ca, Ca),\ (Ca, Co),\ (Co, Ca),\ (Co, Co)\}$ — total de $4$ resultados.

Evento "exatamente uma cara e uma coroa": $\{(Ca, Co),\ (Co, Ca)\}$ — $2$ resultados favoráveis.

$P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$

2. a) Pelo princípio multiplicativo: $3 \times 3 = 9$ senhas possíveis.

b) Senhas com dígitos iguais: $\{11, 22, 33\}$ — $3$ resultados favoráveis.

$P = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\%$

3. a) Pelo princípio multiplicativo: $3 \times 2 \times 2 = 12$ combinações possíveis.

b) O resultado "frango + suco + pudim" é $1$ entre $12$ combinações.

$P = \frac{1}{12} \approx 8{,}3\%$

4. a) Cada dado tem $6$ faces, então o espaço amostral tem $6 \times 6 = 36$ resultados.

Evento $A$ (soma $= 7$ ): $\{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$ → $P(A) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$
Evento $B$ (soma $= 12$ ): $\{(6,6)\}$ → $P(B) = \dfrac{1}{36}$
Evento $C$ (soma $> 12$ ): impossível com dois dados de $6$ faces → $P(C) = \dfrac{0}{36} = 0$

c) $P(A) + P(B) + P(C) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{36} + 0 = \dfrac{7}{36} \neq 1$ . Isso não contradiz a propriedade porque $A$ , $B$ e $C$ não cobrem todos os resultados possíveis — existem somas como $2, 3, 4, \ldots, 6, 8, \ldots, 11$ que não fazem parte desses eventos. A soma das probabilidades de todos os eventos mutuamente exclusivos e exaustivos é que deve ser $1$ .

5. a) Na primeira retirada há $5$ opções; na segunda, $4$ (sem reposição). Total: $5 \times 4 = 20$ resultados possíveis.

b) Duas vermelhas: $3$ opções na primeira retirada, $2$ na segunda → $3 \times 2 = 6$ resultados favoráveis.

$P(\text{duas vermelhas}) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 30\%$

c) $P(\text{pelo menos uma azul}) = 1 - P(\text{duas vermelhas}) = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10} = 70\%$

Verificação: $\dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10} = \dfrac{10}{10} = 1$ . Confirmado.