Lei dos senos e dos cossenos

1. Aplicamos a Lei dos Cossenos: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$c^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 60°$

$c^2 = 64 + 36 - 96 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52$

$c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21 \text{ cm}$

2. Primeiro encontramos $\hat{C} = 180° - 45° - 75° = 60°$.

Pela Lei dos Senos:

$\frac{a}{\text{sen}\,A} = \frac{b}{\text{sen}\,B}$

$\frac{10}{\text{sen}\,45°} = \frac{b}{\text{sen}\,75°}$

$b = \frac{10 \cdot \text{sen}\,75°}{\text{sen}\,45°} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Como $\text{sen}\,75° \approx 0{,}966$ e $\text{sen}\,45° \approx 0{,}707$:

$b = \frac{10 \cdot 0{,}966}{0{,}707} \approx 13{,}66 \text{ cm}$

3. Chamamos os dois lados de $a = 120$ m, $b = 90$ m e o ângulo entre eles de $C = 50°$.

$c^2 = 120^2 + 90^2 - 2 \cdot 120 \cdot 90 \cdot \cos 50°$

$c^2 = 14400 + 8100 - 21600 \cdot 0{,}643$

$c^2 = 22500 - 13888{,}8 = 8611{,}2$

$c = \sqrt{8611{,}2} \approx 92{,}8 \text{ m}$

4. Temos $AB = 15$ km, $BC = 12$ km e o ângulo em B (entre os lados BA e BC) é $\hat{B} = 120°$.

O ângulo interno do triângulo em B, entre os lados $a = BC = 12$ e $c = AB = 15$, é $\hat{B} = 120°$. O lado oposto a B é $b = AC$.

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B = 12^2 + 15^2 - 2 \cdot 12 \cdot 15 \cdot \cos 120°$

$b^2 = 144 + 225 - 360 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 369 + 180 = 549$

$b = \sqrt{549} = 3\sqrt{61} \approx 23{,}43 \text{ km}$

5. O ângulo em C é $\hat{C} = 180° - 58° - 67° = 55°$.

Pela Lei dos Senos, com AB = 80 m sendo o lado oposto a $\hat{C}$:

$\frac{AB}{\text{sen}\,C} = \frac{AC}{\text{sen}\,B}$

$\frac{80}{\text{sen}\,55°} = \frac{AC}{\text{sen}\,67°}$

$AC = \frac{80 \cdot \text{sen}\,67°}{\text{sen}\,55°} = \frac{80 \cdot 0{,}921}{0{,}819} \approx \frac{73{,}68}{0{,}819} \approx 89{,}96 \text{ m}$

A distância AC é aproximadamente 90 m.

6. O maior ângulo é o oposto ao maior lado, que é $c = 9$ cm. Pela Lei dos Cossenos:

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{25 + 49 - 81}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{-7}{70} = -0{,}1\overline{0}$

$\cos C \approx -0{,}1 \implies C \approx 95{,}7°$

Verificando com os dados fornecidos: $\cos C = -0{,}183 \implies C \approx 100{,}5°$ (os valores exatos de $a, b, c$ produzem esse resultado; use os valores dados no problema para a aproximação pedida).

Resolução com os dados fornecidos:

$\cos C = \frac{5^2 + 7^2 - 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 81}{70} = \frac{-7}{70} = -0{,}100$

$C = \arccos(-0{,}100) \approx 95{,}7°$

(Nota: o valor $\arccos(-0{,}183) \approx 100{,}5°$ corresponderia a lados ligeiramente diferentes; com $a=5$, $b=7$, $c=9$ o ângulo correto é $\approx 95{,}7°$.)

7. Seja $h_1$ a altura do sopé do morro (pé do morro ao solo) não existe — o sopé está no solo. Vamos definir:

• $H$ = altura do morro
• $d = 200$ m (distância horizontal de A ao sopé do morro)

Do ângulo de elevação do sopé do morro visto de A: na verdade, o ângulo de elevação do topo do morro visto de A é dado pela geometria. Interpretação: de A, o ângulo de elevação do sopé do morro é 0° (está no nível do solo). Reinterpretamos: ângulo de elevação da base da antena (topo do morro) é 28°, e da ponta da antena é 42°.

Altura do topo do morro (base da antena): $H_{\text{morro}} = 200 \cdot \tan 28° = 200 \cdot 0{,}532 = 106{,}4 \text{ m}$

Altura da ponta da antena: $H_{\text{total}} = 200 \cdot \tan 42° = 200 \cdot 0{,}900 = 180 \text{ m}$

Altura apenas da antena: $180 - 106{,}4 = 73{,}6$ m

Altura total (morro + antena) = 180 m.

8. Pela Lei dos Cossenos, para encontrar o ângulo $\hat{A}$ (oposto ao lado $a = BC = 280$ km):

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

onde $b = CA = 410$ km e $c = AB = 340$ km.

$\cos A = \frac{410^2 + 340^2 - 280^2}{2 \cdot 410 \cdot 340}$

$= \frac{168100 + 115600 - 78400}{278800} = \frac{205300}{278800} \approx 0{,}7364$

$A = \arccos(0{,}7364) \approx 42{,}6°$

(O valor $\arccos(0{,}535) \approx 57{,}6°$ corresponderia a outra configuração de lados; com os dados do enunciado, o ângulo de desvio é $\approx 42{,}6°$.)