Funções seno e cosseno no plano cartesiano

1. A função seno tem período $2\pi$ e os valores notáveis são:

$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = \text{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$

$f(\pi) = \text{sen}(\pi) = 0$

2. A função $g(x) = 4\cos(x)$ tem:

• Amplitude: $|A| = 4$ (o coeficiente que multiplica o cosseno)
• Período: $T = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$ (o coeficiente de $x$ dentro do cosseno é 1)

3. Identificando os parâmetros de $f(x) = 3\,\text{sen}(2x) + 1$:

• Amplitude: $A = 3$ (o coeficiente que multiplica o seno é 3, portanto os valores oscilam entre $-3$ e $3$ em relação ao eixo de equilíbrio)
• Período: $T = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{2} = \pi$
• Deslocamento vertical: $D = +1$ (a função oscila em torno de $y = 1$, não de $y = 0$)

Portanto, $f(x)$ varia entre $1 - 3 = -2$ e $1 + 3 = 4$.

4. O máximo do cosseno ocorre quando o argumento vale $0$:

$x - \frac{\pi}{3} = 0 \implies x = \frac{\pi}{3}$

O primeiro máximo ocorre em $x = \dfrac{\pi}{3}$.

Verificação: $h\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos(0) = 1$ ✓

5.

• A amplitude é o valor máximo, portanto $A = 5$.
• O período é $\pi$, então: $T = \frac{2\pi}{B} = \pi \implies B = 2$

Resposta: $A = 5$ e $B = 2$, logo $f(x) = 5\,\text{sen}(2x)$.

6. A função é $T(h) = 22 + 8\,\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{12}(h - 6)\right)$.

a) Temperatura máxima e mínima:

O seno varia entre $-1$ e $1$, portanto: $T_{\max} = 22 + 8 \cdot 1 = 30°\text{C}$ $T_{\min} = 22 + 8 \cdot (-1) = 14°\text{C}$

b) Hora da temperatura máxima:

O máximo do seno ocorre quando o argumento é $\frac{\pi}{2}$:

$\frac{\pi}{12}(h - 6) = \frac{\pi}{2}$

$h - 6 = 6 \implies h = 12$

A temperatura máxima (30°C) ocorre às 12h (meio-dia).

7. Demonstração algébrica:

Usando a identidade de adição do seno: $\text{sen}\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \text{sen}(x)\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(x)\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)$

$= \text{sen}(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)$

Portanto, $g(x) = \cos(x)$ ✓

Interpretação gráfica: o gráfico de $g(x)$ é o gráfico de $f(x) = \text{sen}(x)$ deslocado $\frac{\pi}{2}$ unidades para a esquerda. Isso equivale exatamente ao gráfico do cosseno, mostrando que seno e cosseno são a mesma função com um deslocamento de fase de 90°.

8. A função é $i(t) = 180\,\text{sen}(100\pi t)$.

a) Amplitude: $A = 180 \text{ A (amperes)}$

b) Período: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50} \text{ s} = 0{,}02 \text{ s}$

c) Frequência: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}02} = 50 \text{ Hz}$

(A frequência da rede elétrica brasileira é 60 Hz; este problema usa 50 Hz para simplificação didática.)

d) Valor em $t = \frac{1}{600}$ s:

$i\!\left(\frac{1}{600}\right) = 180\,\text{sen}\!\left(100\pi \cdot \frac{1}{600}\right) = 180\,\text{sen}\!\left(\frac{100\pi}{600}\right) = 180\,\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{6}\right)$

$= 180 \cdot \frac{1}{2} = 90 \text{ A}$

(Nota: $\frac{\pi}{6} = 30°$ e $\text{sen}(30°) = \frac{1}{2}$. O dado $\text{sen}(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ seria usado se $t = \frac{1}{300}$ s.)