Aplicações de trigonometria

1. A função é $y(t) = 0{,}002\,\text{sen}(440\pi t)$.

a) Frequência:

Comparando com $y = A\,\text{sen}(\omega t)$, temos $\omega = 440\pi$.

$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{440\pi}{2\pi} = 220 \text{ Hz}$

(Esta é a nota Lá3; a nota Lá4 padrão é 440 Hz — o modelo usa 440π, produzindo 220 Hz para fins didáticos.)

b) Período:

$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{220} \approx 0{,}00455 \text{ s} \approx 4{,}55 \text{ ms}$

c) Amplitude:

$A = 0{,}002 \text{ mm}$

2. A função é $\theta(t) = 0{,}15\,\cos(3{,}13\,t)$.

a) Amplitude angular: $\theta_{\max} = 0{,}15 \text{ rad} \approx 8{,}6°$

b) Período:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3{,}13} \approx \frac{6{,}283}{3{,}13} \approx 2{,}01 \text{ s}$

c) Comprimento do pêndulo:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \implies T^2 = 4\pi^2 \cdot \frac{L}{g} \implies L = \frac{T^2 \cdot g}{4\pi^2}$

$L = \frac{(2{,}01)^2 \cdot 9{,}8}{4 \cdot 9{,}87} = \frac{4{,}040 \cdot 9{,}8}{39{,}48} = \frac{39{,}59}{39{,}48} \approx 1{,}00 \text{ m}$

O pêndulo tem comprimento aproximado de 1 m.

3. Seja $h$ a altura do pico e $d$ a distância horizontal de B ao pé do pico.

Do ponto B (ângulo 52°): $\tan 52° = \frac{h}{d} \implies h = d \cdot \tan 52° = 1{,}280\,d \quad (1)$

Do ponto A (ângulo 35°), a distância horizontal é $d + 500$: $\tan 35° = \frac{h}{d + 500} \implies h = 0{,}700\,(d + 500) \quad (2)$

Igualando (1) e (2): $1{,}280\,d = 0{,}700\,d + 350$ $0{,}580\,d = 350$ $d = \frac{350}{0{,}580} \approx 603{,}4 \text{ m}$

Substituindo em (1): $h = 1{,}280 \times 603{,}4 \approx 772{,}4 \text{ m}$

A altitude do pico é aproximadamente 772 m.

4. Aplicamos a Lei dos Cossenos com dois lados $a = b = 12$ m e ângulo entre eles $C = 80°$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 144 + 144 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos 80°$

$c^2 = 288 - 288 \cdot 0{,}174 = 288 - 50{,}112 = 237{,}888$

$c = \sqrt{237{,}888} \approx 15{,}42 \text{ m}$

O comprimento da base da viga é aproximadamente 15,4 m.

5. A função é $T(m) = 20 - 8\,\cos\!\left(\frac{\pi m}{6}\right)$.

a) Janeiro ($m = 0$):

$T(0) = 20 - 8\,\cos(0) = 20 - 8 \cdot 1 = 12°\text{C}$

b) Julho ($m = 6$):

$T(6) = 20 - 8\,\cos\!\left(\frac{6\pi}{6}\right) = 20 - 8\,\cos(\pi) = 20 - 8 \cdot (-1) = 28°\text{C}$

c) Temperatura máxima:

O máximo ocorre quando $\cos\!\left(\frac{\pi m}{6}\right) = -1$, ou seja, $\frac{\pi m}{6} = \pi \implies m = 6$ (julho).

$T_{\max} = 20 + 8 = 28°\text{C}$

A temperatura máxima de 28°C ocorre em julho — o que é coerente com o inverno no Paraná tendo temperaturas mais amenas, mas o modelo desta cidade específica indica julho como mais quente (modelo para cidade específica com inverno seco e verão fresco pode variar).

6. O barco percorreu 60 km para norte (A) e 80 km para leste (B). Temos um triângulo retângulo com catetos PA = 60 km e AB = 80 km.

a) Distância BP:

$BP = \sqrt{PA^2 + AB^2} = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \text{ km}$

b) Ângulo de direção de B para P:

De B, o ponto P está a 60 km a oeste e 80 km ao sul... mas B está a leste e norte de P. Portanto, de B para P, o barco deve ir 80 km para oeste e 60 km para sul.

O ângulo em relação ao sul (direção sul = referência):

$\tan \alpha = \frac{80}{60} = \frac{4}{3} \implies \alpha = \arctan\!\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53{,}1°$

O ângulo em relação ao norte:

De B para P, o vetor aponta para sudoeste. Em relação ao norte, o ângulo é $180° + 53{,}1° = 233{,}1°$ (medido no sentido horário).

Alternativamente, o ângulo com o eixo norte-sul (oeste do sul) é $\arctan(80/60) \approx 53{,}1°$ a oeste do sul, ou seja, azimute $\approx 180° + 53{,}1° = 233{,}1°$.

O barco deve seguir na direção de 233,1° (sul-sudoeste, 53,1° a oeste do sul).