Semelhança e congruência de figuras

1. Se dois triângulos têm todos os ângulos iguais dois a dois (critério AA), eles são semelhantes. Isso significa que têm a mesma forma, mas podem ter tamanhos diferentes. Todos os lados correspondentes estão na mesma proporção (razão de semelhança).

2. A escala 1:50 000 significa que 1 cm no mapa representa 50 000 cm na realidade.

$3 \text{ cm} \times 50{,}000 \text{ cm} = 150{,}000 \text{ cm} = 1{,}5 \text{ km}$

A distância real é 1,5 km.

3. Lado do triângulo maior:

$\frac{\text{lado maior}}{\text{lado menor}} = k = \frac{3}{2}$

$\text{lado maior} = 8 \times \frac{3}{2} = 12 \text{ cm}$

Área do triângulo maior:

A razão de áreas é o quadrado da razão de semelhança:

$\frac{A_{\text{maior}}}{A_{\text{menor}}} = k^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

$A_{\text{maior}} = 24 \times \frac{9}{4} = 54 \text{ cm}^2$

4. O poste e sua sombra formam um triângulo semelhante ao da árvore e sua sombra (mesmo ângulo solar).

$\frac{\text{altura do poste}}{\text{sombra do poste}} = \frac{\text{altura da árvore}}{\text{sombra da árvore}}$

$\frac{4}{6} = \frac{h}{15}$

$h = \frac{4 \times 15}{6} = \frac{60}{6} = 10 \text{ m}$

A árvore tem 10 m de altura.

5. Os dois triângulos têm os mesmos três lados: 5 cm, 7 cm e 9 cm (apenas em ordem diferente).

Pelo critério LLL (Lado-Lado-Lado): dois triângulos são congruentes se têm os três lados respectivamente iguais.

Como os três lados do Triângulo I são iguais aos três lados do Triângulo II (5 = 5, 7 = 7, 9 = 9), os triângulos são congruentes pelo critério LLL.

6. A escala é 1:75, ou seja, 1 cm no desenho = 75 cm na realidade.

a) Dimensões reais:

$\text{comprimento} = 6{,}4 \times 75 = 480 \text{ cm} = 4{,}80 \text{ m}$

$\text{largura} = 4{,}2 \times 75 = 315 \text{ cm} = 3{,}15 \text{ m}$

b) Área real:

$A_{\text{real}} = 4{,}80 \times 3{,}15 = 15{,}12 \text{ m}^2$

c) Área no desenho:

$A_{\text{desenho}} = 6{,}4 \times 4{,}2 = 26{,}88 \text{ cm}^2$

Verificação: $A_{\text{real}} = A_{\text{desenho}} \times 75^2 = 26{,}88 \times 5625 = 151{.}200 \text{ cm}^2 = 15{,}12 \text{ m}^2$ ✓

7. Triângulo ABC retângulo em A com altura $AH$ relativa à hipotenusa $BC$.

Semelhança ABH ~ CAB:

No triângulo ABH: $\hat{H} = 90°$ e $\hat{B}$ são os ângulos.

No triângulo CAB: $\hat{A} = 90°$ e $\hat{B}$ são os ângulos.

Os dois triângulos compartilham o ângulo $\hat{B}$ e ambos têm um ângulo reto. Pelo critério AA, são semelhantes:

$\triangle ABH \sim \triangle CAB$

Relação métrica:

Pela semelhança, a razão entre os lados correspondentes:

$\frac{AB}{CB} = \frac{BH}{AB}$

$AB^2 = BH \cdot BC \quad \blacksquare$

8. A escala é 1:2000, ou seja, 1 cm = 2000 cm = 20 m.

a) Distância real A–B:

$d_{AB} = 4{,}5 \times 2000 = 9{,}000 \text{ cm} = 90 \text{ m}$

b) Altura real da torre A:

$h_A = 1{,}2 \times 2000 = 2{,}400 \text{ cm} = 24 \text{ m}$

c) Distância real A–C:

$d_{AC} = 3{,}0 \times 2000 = 6{,}000 \text{ cm} = 60 \text{ m}$