Juros e funções lineares

1. (a) Em juros simples, $M(t)=C(1+it)$. Como $C=800$ e $i=0{,}02$:

$M(t)=800(1+0{,}02t)=800+16t$

(b) Para $t=5$:

$M(5)=800+16 \times 5=880$

Montante: R$ 880,00.

(c) O modelo é linear porque o aumento é constante: a cada mês o montante cresce R$ 16,00. A função tem a forma $M(t)=at+b$.

2. (a) O juro mensal é R$ 36,00 sobre R$ 1.200,00:

$i=\frac{36}{1200}=0{,}03=3\%$

Taxa mensal: 3% ao mês.

(b) A dívida começa em R$ 1.200,00 e cresce R$ 36,00 por mês:

$D(t)=1200+36t$

3. Na Loja A:

$J=2000 \times 0{,}03 \times 4=240$

$M=2000+240=2240$

Custo final da Loja A: R$ 2.240,00.

Na Loja B:

$2000+280=2280$

Custo final da Loja B: R$ 2.280,00.

A menor proposta é a Loja A, pois R$ 2.240,00 < R$ 2.280,00.

4. (a) Para $t$ meses:

$C_1(t)=150+90t$

$C_2(t)=120t$

(b) Igualando:

$150+90t=120t$

$150=30t$

$t=5$

Os custos se igualam em 5 meses.

(c) Para $t=8$:

$C_1(8)=150+90 \times 8=870$

$C_2(8)=120 \times 8=960$

Para 8 meses, o curso 1 é mais barato: R$ 870,00 contra R$ 960,00.

5. (a) De 0 a 2 meses, o montante passa de R$ 1.500,00 para R$ 1.620,00, aumento de R$ 120,00 em 2 meses.

$\frac{120}{2}=60$

A taxa de crescimento é R$ 60,00 por mês.

(b) A função é:

$M(t)=1500+60t$

(c) O juro mensal é R$ 60,00 sobre R$ 1.500,00:

$i=\frac{60}{1500}=0{,}04=4\%$

Taxa mensal: 4% ao mês.

6. (a) O juro total em 10 meses foi:

$6250-5000=1250$

Em juros simples:

$1250=5000 \cdot i \cdot 10$

$i=\frac{1250}{50000}=0{,}025=2{,}5\%$

Taxa mensal: 2,5% ao mês.

(b) A função é:

$D(t)=5000+5000 \cdot 0{,}025t=5000+125t$

Para $D(t)=7000$:

$5000+125t=7000$

$125t=2000$

$t=16$

A dívida chegaria a R$ 7.000,00 em 16 meses.

7. (a) No banco, o rendimento mensal é $0{,}015C$. Na cooperativa, é R$ 40,00. Igualando:

$0{,}015C=40$

$C=\frac{40}{0{,}015}\approx 2666{,}67$

Os rendimentos mensais são iguais para capital de aproximadamente R$ 2.666,67.

(b) Para R$ 3.500,00, rendimento mensal no banco:

$0{,}015 \times 3500=52{,}50$

Em 12 meses:

$52{,}50 \times 12=630$

Na cooperativa:

$40 \times 12=480$

O banco rende mais: R$ 630,00 contra R$ 480,00.

(c) As funções de rendimento mensal são $R_b(C)=0{,}015C$ e $R_c(C)=40$. O ponto de interseção ocorre quando $C \approx 2666{,}67$, isto é, quando as duas opções produzem o mesmo rendimento mensal.

8. (a) Juros simples:

$M_s(t)=1000(1+0{,}02t)=1000+20t$

(b) Para $t=6$:

$M_s(6)=1000+20 \times 6=1120$

Montante a juros simples: R$ 1.120,00.

(c) Juros compostos:

$M_c(6)=1000(1{,}02)^6 \approx 1000 \times 1{,}126162=1126{,}16$

Montante a juros compostos: R$ 1.126,16.

(d) Em juros simples, o acréscimo mensal é sempre R$ 20,00, por isso o gráfico é uma reta. Em juros compostos, o juro de cada mês incide sobre um montante maior; o crescimento não é constante em reais e o gráfico é exponencial.