Matemática Elementar

Problema 1

Uma função quadrática é dada por $f(x)=x^2-6x+8$ .

(a) Calcule $f(0)$ , $f(2)$ e $f(4)$ .

(b) Determine as raízes da função.

(c) A parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo?

Problemas

Nível Ameba (introdutório)

1. Uma função quadrática é dada por $f(x)=x^2-6x+8$ .

(a) Calcule $f(0)$ , $f(2)$ e $f(4)$ .

(b) Determine as raízes da função.

(c) A parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo?

2. Um retângulo tem perímetro 40 cm. Se um lado mede $x$ cm, o outro mede $20-x$ cm.

(a) Escreva a área $A(x)$ em função de $x$ .

(b) Calcule $A(8)$ e $A(10)$ .

Nível ★ (básico)

3. A altura de uma bola, em metros, é modelada por $h(t)=-5t^2+20t+1$ , em que $t$ é o tempo em segundos.

(a) Qual é a altura inicial?

(b) Em que instante a bola atinge a altura máxima?

(c) Qual é a altura máxima?

4. Uma empresa vende $x$ unidades de um produto por semana. O lucro, em reais, é modelado por:

$L(x)=-2x^2+120x-1000$

(a) Quantas unidades maximizam o lucro?

(b) Qual é o lucro máximo?

(c) Para $x=10$ e $x=50$ , os lucros são iguais? Explique usando a simetria da parábola.

Nível ★★ (intermediário)

5. Uma praça retangular será cercada usando 60 m de cerca em três lados, pois o quarto lado encosta em um muro. Se a largura perpendicular ao muro é $x$ metros, então o comprimento paralelo ao muro é $60-2x$ metros.

(a) Escreva a função área $A(x)$ .

(b) Determine o domínio contextual de $x$ .

(c) Encontre a largura que maximiza a área e a área máxima.

6. Uma função quadrática passa pelos pontos $(0,3)$ , $(1,0)$ e $(3,0)$ .

(a) Escreva a função na forma fatorada.

(b) Determine a forma desenvolvida.

(c) Determine o vértice.

Nível ★★★ (avançado)

7. Em uma campanha, o preço de um ingresso é ajustado conforme a quantidade de descontos oferecidos. A receita diária, em reais, é modelada por:

$R(d)=-50d^2+900d+4000$

em que $d$ é a quantidade de descontos de R$ 1,00 aplicados ao preço-base.

(a) Quantos descontos de R$ 1,00 maximizam a receita?

(b) Qual é a receita máxima?

(c) Compare $R(6)$ e $R(12)$ e interprete.

8. Um técnico ajusta um modelo quadrático para a produção de uma máquina:

$P(t)=-3t^2+36t+120$

em que $P(t)$ é a produção em peças por hora e $t$ é o tempo em horas após o início do turno, com $0 \leq t \leq 10$ .

(a) Determine o instante de produção máxima.

(b) Calcule a produção máxima.

(c) Em quais instantes a produção é de 201 peças por hora?

(d) Explique por que nem toda raiz algébrica de uma equação associada a um modelo deve ser aceita sem verificar o contexto.

Gabarito — Modelos quadráticos

1. (a)

$f(0)=0^2-6\cdot 0+8=8$

$f(2)=2^2-6\cdot 2+8=4-12+8=0$

$f(4)=4^2-6\cdot 4+8=16-24+8=0$

(b) As raízes são os valores que tornam $f(x)=0$ :

$x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$

Logo, as raízes são 2 e 4.

(c) Como o coeficiente de $x^2$ é positivo, a concavidade é voltada para cima.

2. (a) A área é:

$A(x)=x(20-x)=20x-x^2$

(b)

$A(8)=20\cdot 8-8^2=160-64=96$

$A(10)=20\cdot 10-10^2=200-100=100$

Logo, $A(8)=96\text{ cm}^2$ e $A(10)=100\text{ cm}^2$ .

3. (a) A altura inicial ocorre em $t=0$ :

$h(0)=1$

Altura inicial: 1 m.

(b) Para $h(t)=at^2+bt+c$ , o tempo do vértice é $t_v=-\frac{b}{2a}$ . Aqui, $a=-5$ e $b=20$ :

$t_v=-\frac{20}{2(-5)}=2$

A bola atinge a altura máxima em 2 s.

(c)

$h(2)=-5(2)^2+20(2)+1=-20+40+1=21$

Altura máxima: 21 m.

4. (a) Como $a=-2$ e $b=120$ :

$x_v=-\frac{120}{2(-2)}=30$

O lucro é máximo com 30 unidades.

(b)

$L(30)=-2(30)^2+120(30)-1000$

$L(30)=-1800+3600-1000=800$

Lucro máximo: R$ 800,00.

(c)

$L(10)=-2(100)+1200-1000=0$

$L(50)=-2(2500)+6000-1000=0$

Sim, são iguais. Os valores $10$ e $50$ estão à mesma distância do eixo de simetria $x=30$ , pois $30-10=20$ e $50-30=20$ .

5. (a) A área é:

$A(x)=x(60-2x)=60x-2x^2$

(b) Como as medidas devem ser positivas:

$x>0 \quad \text{e} \quad 60-2x>0$

$x<30$

Domínio contextual: $0<x<30$ .

(c) O vértice ocorre em:

$x_v=-\frac{60}{2(-2)}=15$

Então:

$A(15)=60(15)-2(15)^2=900-450=450$

A largura que maximiza a área é 15 m e a área máxima é 450 m².

6. (a) As raízes são $x=1$ e $x=3$ , então:

$f(x)=a(x-1)(x-3)$

Como o ponto $(0,3)$ pertence ao gráfico:

$3=a(0-1)(0-3)=3a$

$a=1$

Logo:

$f(x)=(x-1)(x-3)$

(b) Desenvolvendo:

$f(x)=x^2-4x+3$

(c) O vértice tem:

$x_v=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2$

$f(2)=4-8+3=-1$

Vértice: $(2,-1)$ .

7. (a) Para $R(d)=-50d^2+900d+4000$ :

$d_v=-\frac{900}{2(-50)}=9$

A receita é máxima com 9 descontos de R$ 1,00.

(b)

$R(9)=-50(81)+900(9)+4000$

$R(9)=-4050+8100+4000=8050$

Receita máxima: R$ 8.050,00.

(c)

$R(6)=-50(36)+900(6)+4000=-1800+5400+4000=7600$

$R(12)=-50(144)+900(12)+4000=-7200+10800+4000=7600$

Os valores são iguais porque $6$ e $12$ estão à mesma distância do eixo de simetria $d=9$ .

8. (a) Para $P(t)=-3t^2+36t+120$ :

$t_v=-\frac{36}{2(-3)}=6$

A produção máxima ocorre em 6 horas após o início do turno.

(b)

$P(6)=-3(36)+36(6)+120=-108+216+120=228$

Produção máxima: 228 peças por hora.

(c) Resolver $P(t)=201$ :

$-3t^2+36t+120=201$

$-3t^2+36t-81=0$

Dividindo por $-3$ :

$t^2-12t+27=0$

$t=\frac{12\pm\sqrt{144-108}}{2}=\frac{12\pm 6}{2}$

$t=3 \quad \text{ou} \quad t=9$

A produção é de 201 peças por hora em 3 h e 9 h.

(d) Modelos dependem do domínio contextual. Neste problema, por exemplo, só são aceitos valores com $0 \leq t \leq 10$ . Uma raiz fora desse intervalo poderia ser solução algébrica, mas não teria sentido para o turno descrito.