Probabilidade condicional e eventos dependentes

1. A urna tem 8 bolas (5 vermelhas + 3 azuis).

a) $P(V_1) = \dfrac{5}{8}$

b) Após uma vermelha ser retirada, restam 7 bolas (4 vermelhas + 3 azuis):

$P(V_2 | V_1) = \frac{4}{7}$

c) Pela regra do produto para eventos dependentes:

$P(V_1 \cap V_2) = P(V_1) \cdot P(V_2|V_1) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \approx 35{,}7\%$

2. a) Diagrama de Venn:

• Apenas M (não F): $18 - 8 = 10$
• M e F: $8$
• Apenas F (não M): $12 - 8 = 4$
• Nenhum: $30 - 10 - 8 - 4 = 8$

b) Probabilidade condicional:

$P(F|M) = \frac{P(F \cap M)}{P(M)} = \frac{8/30}{18/30} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \approx 44{,}4\%$

3. Definições:

• $D$: estar doente; $P(D) = 0{,}02$; $P(\bar{D}) = 0{,}98$
• $+$: teste positivo
• $P(+|D) = 0{,}95$ (sensibilidade)
• $P(-|\bar{D}) = 0{,}90 \implies P(+|\bar{D}) = 0{,}10$ (falso positivo)

Pelo Teorema de Bayes:

$P(D|+) = \frac{P(+|D) \cdot P(D)}{P(+|D) \cdot P(D) + P(+|\bar{D}) \cdot P(\bar{D})}$

Numerador: $P(+|D) \cdot P(D) = 0{,}95 \times 0{,}02 = 0{,}0190$

Denominador (P(+) total): $0{,}0190 + 0{,}10 \times 0{,}98 = 0{,}0190 + 0{,}0980 = 0{,}1170$

$P(D|+) = \frac{0{,}0190}{0{,}1170} \approx 0{,}1624 \approx 16{,}2\%$

Mesmo com teste positivo, a probabilidade de estar doente é apenas ~16%, devido à baixa prevalência da doença. Isso ilustra por que testes de triagem precisam ser confirmados.

4. Probabilidade de A ganhar cada jogo: $p = 0{,}6$; de B ganhar: $q = 0{,}4$.

a) A vence em 2 jogos (A ganha os dois primeiros):

$P(\text{AA}) = 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36$

b) Campeonato vai para 3 jogos (1 vitória e 1 derrota de A nos dois primeiros):

Sequências: AB ou BA (A ganha 1, B ganha 1 — em qualquer ordem):

$P(\text{3 jogos}) = P(\text{AB}) + P(\text{BA}) = (0{,}6 \times 0{,}4) + (0{,}4 \times 0{,}6) = 0{,}24 + 0{,}24 = 0{,}48$

c) Probabilidade total de A vencer:

• A vence em 2: 0,36
• A vence em 3 (sequências ABA ou BAA):

$P(\text{A vence em 3}) = P(\text{ABA}) + P(\text{BAA}) = (0{,}6 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6) + (0{,}4 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}6) = 0{,}144 + 0{,}144 = 0{,}288$

$P(\text{A vence}) = 0{,}36 + 0{,}288 = \mathbf{0{,}648}$

5. Probabilidade total de uma peça ser defeituosa:

$P(D) = P(D|M) P(M) + P(D|T) P(T) + P(D|N) P(N)$ $= 0{,}02 \times 0{,}50 + 0{,}03 \times 0{,}30 + 0{,}05 \times 0{,}20$ $= 0{,}010 + 0{,}009 + 0{,}010 = 0{,}029$

a) P(turno noite | defeituosa):

$P(N|D) = \frac{P(D|N) \cdot P(N)}{P(D)} = \frac{0{,}05 \times 0{,}20}{0{,}029} = \frac{0{,}010}{0{,}029} \approx 34{,}5\%$

b) P(turno manhã | defeituosa):

$P(M|D) = \frac{P(D|M) \cdot P(M)}{P(D)} = \frac{0{,}02 \times 0{,}50}{0{,}029} = \frac{0{,}010}{0{,}029} \approx 34{,}5\%$

Apesar do turno da manhã produzir mais (50% do total), sua baixa taxa de defeitos (2%) faz com que contribua igualmente ao da noite (20% da produção, 5% de defeitos) no total de defeituosas.

6. Seja $P$ = "é o pai" e $+$ = "teste positivo (acusa como pai)".

• $P(P) = 0{,}005$ (prevalência); $P(\bar{P}) = 0{,}995$
• $P(+|P) = 0{,}999$ (probabilidade de acerto quando é o pai)
• $P(+|\bar{P}) = 0{,}001$ (falso positivo)

P(positivo total):

$P(+) = 0{,}999 \times 0{,}005 + 0{,}001 \times 0{,}995$ $= 0{,}004995 + 0{,}000995 = 0{,}005990$

P(é o pai | teste positivo):

$P(P|+) = \frac{0{,}999 \times 0{,}005}{0{,}005990} = \frac{0{,}004995}{0{,}005990} \approx 0{,}834 \approx 83{,}4\%$

Com o teste positivo, a probabilidade de ser o pai é de aproximadamente 83,4%. A prevalência relativamente baixa ainda resulta em ~17% de falsos positivos entre os acusados.

7. O baralho tem 4 Ases entre 52 cartas.

a) Três primeiras cartas são Ases (sem condicionamento):

$P = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{2}{50} = \frac{24}{132{,}600} = \frac{1}{5{,}525} \approx 0{,}018\%$

b) Terceira é Ás, dado que as duas primeiras foram Ases:

Após 2 Ases retirados, restam 2 Ases em 50 cartas:

$P(A_3 | A_1 \cap A_2) = \frac{2}{50} = \frac{1}{25} = 4\%$

c) Terceira carta é um Ás (sem condicionamento):

Por simetria, qualquer posição (1ª, 2ª, 3ª, ...) tem igual probabilidade de ser um Ás:

$P(A_3) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 7{,}69\%$

(Verificação por probabilidade total: somar sobre todos os casos de $A_1, A_2$ dá exatamente $4/52$.)

8. Sacola: 4 premiados (P) e 6 brancos (B) — total 10.

a) Árvore de probabilidades:

              P (4/10)
    P (4/10) <
              B (6/10)
 
              P (4/9)
    B (6/10) <
              B (5/9)

Marcos tira 1º, Luisa tira 2º.

b) Probabilidade de Luisa ganhar:

$P(L_P) = P(M_P) \cdot P(L_P | M_P) + P(M_B) \cdot P(L_P | M_B)$

$= \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{90} + \frac{24}{90} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5} = 40\%$

Por simetria, $P(\text{Luisa premia}) = \frac{4}{10} = 40\%$ — igual ao de Marcos. Retirar antes ou depois não altera a probabilidade individual.

c) Dado que Luisa ganhou, probabilidade de Marcos também ter ganhado:

$P(M_P | L_P) = \frac{P(M_P \cap L_P)}{P(L_P)} = \frac{\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9}}{\frac{2}{5}} = \frac{\frac{12}{90}}{\frac{36}{90}} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\%$