Análise combinatória: permutações e combinações

1. Dispor 7 pessoas em 7 cadeiras é uma permutação simples de 7 elementos:

$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5{.}040 \text{ maneiras}$

2. Escolher 6 atletas entre 12, sem importar a ordem, é uma combinação:

$C_{12,6} = \binom{12}{6} = \frac{12!}{6! \cdot 6!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6!} = \frac{665{.}280}{720} = 924$

Há 924 maneiras de escolher o time inicial.

3. a) Senhas com repetição permitida:

Cada dígito tem 10 opções (0–9), independentemente:

$10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10{.}000 \text{ senhas}$

b) Senhas com dígitos distintos:

1º dígito: 10 opções; 2º: 9 (não pode repetir o 1º); 3º: 8; 4º: 7:

$10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5{.}040 \text{ senhas}$

c) Probabilidade de dígitos distintos:

$P = \frac{5{.}040}{10{.}000} = 0{,}504 = 50{,}4\%$

4. Anagramas de BRASIL (6 letras, todas distintas):

$P_6 = 6! = 720 \text{ anagramas}$

Anagramas de BANANA (6 letras com repetição: A=3, N=2, B=1):

$\frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{720}{6 \times 2 \times 1} = \frac{720}{12} = 60 \text{ anagramas}$

5. Tratamos os 3 professores como um bloco único. Assim, temos $5 + 1 = 6$ "unidades" para dispor nas 8 cadeiras (5 alunos + 1 bloco de professores), mais 2 cadeiras sobrando. Porém o enunciado implica que as 8 cadeiras devem ser totalmente ocupadas por 8 pessoas.

Há 8 pessoas (5 alunos + 3 professores) e 8 cadeiras. Com os 3 professores juntos:

• Tratamos os 3 professores como 1 bloco: temos 6 "unidades" (5 alunos + 1 bloco).
• Dispor 6 unidades em sequência (nas 8 cadeiras, com o bloco ocupando 3 consecutivas):

O bloco pode começar nas posições 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (posições da primeira cadeira do bloco entre cadeiras 1 a 8, bloco ocupa 3 seguidas):

Posições possíveis para o bloco: cadeiras (1,2,3), (2,3,4), ..., (6,7,8) → 6 posições

Para cada posição do bloco:

• Os 3 professores podem se arranjar internamente de $3! = 6$ formas.
• Os 5 alunos ocupam as 5 cadeiras restantes: $5! = 120$ formas.

$\text{Total} = 6 \times 6 \times 120 = 4{.}320 \text{ maneiras}$

6. Total: 6 homens + 5 mulheres = 11 pessoas. Comissão de 4.

a) Sem restrições:

$C_{11,4} = \binom{11}{4} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4!} = \frac{7{.}920}{24} = 330$

b) Exatamente 2 homens e 2 mulheres:

$C_{6,2} \times C_{5,2} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \times \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 15 \times 10 = 150$

c) Pelo menos 1 mulher (complementar: nenhuma mulher):

$C(\text{nenhuma mulher}) = C_{6,4} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = 15$

$C(\text{pelo menos 1 mulher}) = 330 - 15 = 315$

7. Total: 4 (1º) + 5 (2º) + 3 (3º) = 12 alunos.

a) Equipes de 5 sem restrições:

$C_{12,5} = \binom{12}{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5!} = \frac{95{.}040}{120} = 792$

b) Exatamente 2 do 2º ano:

Escolher 2 do 2º ano ($C_{5,2}$) e 3 dos demais 7 alunos (4 do 1º + 3 do 3º):

$C_{5,2} \times C_{7,3} = 10 \times 35 = 350$

c) Nenhum aluno do 3º ano:

Escolher 5 entre os 9 restantes (4 do 1º + 5 do 2º):

$C_{9,5} = \binom{9}{5} = \frac{9!}{5! \cdot 4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4!} = \frac{3{.}024}{24} = 126$

8. As 10 bandas devem ser distribuídas em três grupos distintos (abertura com ordem, principal sem ordem, encerramento). Trabalha-se em etapas:

Etapa 1 — Abertura (3 bandas em ordem, da 10 disponíveis):

É um arranjo $A_{10,3}$:

$A_{10,3} = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$

Etapa 2 — Programação principal (4 bandas sem ordem, das 7 restantes):

$C_{7,4} = \binom{7}{4} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = 35$

Etapa 3 — Encerramento (1 banda das 3 restantes):

$C_{3,1} = 3$

Total de programações distintas:

$720 \times 35 \times 3 = 75{.}600 \text{ programações}$