Prismas e pirâmides: áreas e volumes

1. O paralelepípedo retângulo tem volume igual ao produto dos três lados:

$V = c \times l \times h = 32 \times 16 \times 12$

$V = 32 \times 16 = 512$

$V = 512 \times 12 = 6144 \text{ cm}^3$

Resposta: $V = 6144 \text{ cm}^3$

2. O volume de qualquer prisma é dado por $V = A_{\text{base}} \times h$:

$V = 24 \times 10 = 240 \text{ cm}^3$

Resposta: $V = 240 \text{ cm}^3$

3. A base é um quadrado de lado 5 cm, portanto $A_{\text{base}} = 5^2 = 25 \text{ cm}^2$.

O prisma tem 2 bases quadradas e 4 faces retangulares. As faces laterais têm dimensões $5 \times 8 = 40 \text{ cm}^2$ cada.

$A_{\text{total}} = 2 \times A_{\text{base}} + 4 \times A_{\text{lateral}}$

$A_{\text{total}} = 2 \times 25 + 4 \times 40 = 50 + 160 = 210 \text{ cm}^2$

Resposta: $A_{\text{total}} = 210 \text{ cm}^2$

4. O volume de uma pirâmide é $V = \dfrac{A_{\text{base}} \times h}{3}$.

A base quadrada tem $A_{\text{base}} = 6^2 = 36 \text{ m}^2$.

$V = \frac{36 \times 4}{3} = \frac{144}{3} = 48 \text{ m}^3$

Resposta: $V = 48 \text{ m}^3$

5. Dados: hexágono regular com lado $l = 2$ m, apótema $a = \sqrt{3}$ m, altura $h = 10$ m.

(a) Área lateral:

O perímetro da base hexagonal é $P = 6 \times 2 = 12$ m.

A área lateral de um prisma é $A_{\text{lat}} = P \times h$:

$A_{\text{lat}} = 12 \times 10 = 120 \text{ m}^2$

(b) Volume:

A área da base hexagonal regular é $A_{\text{base}} = \dfrac{P \times a}{2} = \dfrac{12 \times \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ m}^2$.

$V = A_{\text{base}} \times h = 6\sqrt{3} \times 10 = 60\sqrt{3} \approx 103{,}92 \text{ m}^3$

Respostas: $A_{\text{lat}} = 120 \text{ m}^2$; $V = 60\sqrt{3} \approx 103{,}92 \text{ m}^3$

6. Dados: pirâmide quadrangular regular com $l = 8$ cm, $h = 3$ cm, apótema $a = 5$ cm.

(a) Volume:

$A_{\text{base}} = 8^2 = 64 \text{ cm}^2$

$V = \frac{A_{\text{base}} \times h}{3} = \frac{64 \times 3}{3} = 64 \text{ cm}^3$

(b) Área de uma face triangular:

Cada face lateral é um triângulo isósceles com base $l = 8$ cm e altura igual à apótema da pirâmide $a = 5$ cm.

$A_{\text{face}} = \frac{l \times a}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = 20 \text{ cm}^2$

(c) Área total:

A pirâmide quadrangular tem 1 base e 4 faces triangulares.

$A_{\text{total}} = A_{\text{base}} + 4 \times A_{\text{face}} = 64 + 4 \times 20 = 64 + 80 = 144 \text{ cm}^2$

Respostas: $V = 64 \text{ cm}^3$; $A_{\text{face}} = 20 \text{ cm}^2$; $A_{\text{total}} = 144 \text{ cm}^2$

7. Dados: prisma triangular equilátero com $l = 6$ cm, $h = 10$ cm.

(a) Área da base:

$A_{\text{base}} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59 \text{ cm}^2$

(b) Volume:

$V = A_{\text{base}} \times h = 9\sqrt{3} \times 10 = 90\sqrt{3} \approx 155{,}88 \text{ cm}^3$

(c) Área lateral:

O prisma triangular tem 3 faces retangulares (uma por aresta da base). Cada face tem dimensões $6 \times 10 = 60 \text{ cm}^2$.

$A_{\text{lat}} = 3 \times 60 = 180 \text{ cm}^2$

(d) Custo para 500 caixas:

$\text{Custo por caixa} = 180 \times 0{,}08 = R\$\;14{,}40$

$\text{Custo total} = 500 \times 14{,}40 = R\$\;7200{,}00$

Respostas: $A_{\text{base}} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59 \text{ cm}^2$; $V = 90\sqrt{3} \approx 155{,}88 \text{ cm}^3$; $A_{\text{lat}} = 180 \text{ cm}^2$; custo total = R$ 7200,00

8. Dados: pirâmide quadrangular regular com $l = 10$ m, $h = 6$ m.

(a) Verificação da aresta lateral:

A apótema da base é metade do lado: $m = l/2 = 5$ m.

Usando Pitágoras no triângulo formado pela altura da pirâmide, a apótema da base e a aresta lateral:

$\text{aresta lateral}^2 = h^2 + m^2 = 6^2 + 5^2 = 36 + 25 = 61$

$\text{aresta lateral} = \sqrt{61} \text{ m} \checkmark$

(b) Área de uma face triangular:

A apótema da pirâmide $a$ é a altura da face triangular, medida do vértice ao meio da aresta da base. Ela satisfaz:

$a^2 = h^2 + (l/2)^2 = 36 + 25 = 61 \implies a = \sqrt{61} \text{ m}$

Área de cada face triangular (base $l = 10$ m, altura $a = \sqrt{61}$ m):

$A_{\text{face}} = \frac{l \times a}{2} = \frac{10\sqrt{61}}{2} = 5\sqrt{61} \approx 5 \times 7{,}810 \approx 39{,}05 \text{ m}^2$

(c) Área lateral total:

$A_{\text{lat}} = 4 \times A_{\text{face}} = 4 \times 5\sqrt{61} = 20\sqrt{61} \approx 156{,}20 \text{ m}^2$

(d) Custo total:

$\text{Custo} = 20\sqrt{61} \times 45 \approx 156{,}20 \times 45 \approx R\$\;7029{,}00$

Respostas: aresta lateral $= \sqrt{61}$ m (verificado); $A_{\text{face}} = 5\sqrt{61} \approx 39{,}05 \text{ m}^2$; $A_{\text{lat}} = 20\sqrt{61} \approx 156{,}20 \text{ m}^2$; custo $\approx$ R$ 7029,00