Cilindros, cones e esferas

1. O volume do cilindro é $V = \pi r^2 h$:

$V = 3{,}14 \times 4^2 \times 11 = 3{,}14 \times 16 \times 11 = 3{,}14 \times 176 = 552{,}64 \text{ cm}^3$

Resposta: $V \approx 552{,}64 \text{ cm}^3$

2. O volume do cone é $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$:

$V = \frac{3{,}14 \times 3^2 \times 12}{3} = \frac{3{,}14 \times 9 \times 12}{3} = \frac{3{,}14 \times 108}{3} = \frac{339{,}12}{3} = 113{,}04 \text{ cm}^3$

Resposta: $V \approx 113{,}04 \text{ cm}^3$

3. Dados: diâmetro $= 22$ cm, portanto raio $r = 11$ cm.

(a) Volume:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 11^3 = \frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 1331$

$= \frac{4 \times 3{,}14 \times 1331}{3} = \frac{16.721{,}36}{3} \approx 5573{,}79 \text{ cm}^3$

(b) Área da superfície:

$A = 4\pi r^2 = 4 \times 3{,}14 \times 11^2 = 4 \times 3{,}14 \times 121 = 12{,}56 \times 121 = 1519{,}76 \text{ cm}^2$

Respostas: $V \approx 5573{,}79 \text{ cm}^3$; $A \approx 1519{,}76 \text{ cm}^2$

4. Dados: $r = 3$ m, $h = 5$ m.

Área da base: $A_{\text{base}} = \pi r^2 = 3{,}14 \times 9 = 28{,}26 \text{ m}^2$

Área lateral: $A_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2 \times 3{,}14 \times 3 \times 5 = 94{,}20 \text{ m}^2$

Área total:

$A_{\text{total}} = 2 \times A_{\text{base}} + A_{\text{lat}} = 2 \times 28{,}26 + 94{,}20 = 56{,}52 + 94{,}20 = 150{,}72 \text{ m}^2$

Resposta: $A_{\text{total}} \approx 150{,}72 \text{ m}^2$

5. (a) O Princípio de Cavalieri afirma: se dois sólidos têm a mesma altura e se, em qualquer altura $k$, as seções transversais paralelas à base têm a mesma área, então os dois sólidos têm o mesmo volume.

(b) Para o cilindro reto ($r = 3$ cm, $h = 8$ cm):

$V = \pi r^2 h = 3{,}14 \times 9 \times 8 = 226{,}08 \text{ cm}^3$

Para o cilindro oblíquo: embora inclinado, em qualquer altura $k$ a seção transversal (paralela à base) é um círculo de raio 3 cm, com área $\pi \times 9 = 28{,}26 \text{ cm}^2$ — igual à seção do cilindro reto à mesma altura. Pelo Princípio de Cavalieri, o volume é idêntico:

$V_{\text{oblíquo}} = V_{\text{reto}} = 226{,}08 \text{ cm}^3$

Respostas: (a) os volumes são iguais; (b) ambos têm $V \approx 226{,}08 \text{ cm}^3$.

6. Dados: $r = 10$ cm, $h = 25$ cm.

(a) Volume do cilindro:

$V_{\text{cil}} = \pi r^2 h = 3{,}14 \times 100 \times 25 = 7850 \text{ cm}^3$

(b) Volume do cone:

$V_{\text{cone}} = \frac{\pi r^2 h}{3} = \frac{7850}{3} \approx 2616{,}67 \text{ cm}^3$

(c) Relação:

$\frac{V_{\text{cone}}}{V_{\text{cil}}} = \frac{1}{3}$

O volume do cone é exatamente $\dfrac{1}{3}$ do volume do cilindro de mesma base e mesma altura. Isso demonstra a relação clássica entre cone e cilindro: $V_{\text{cone}} = \dfrac{1}{3} V_{\text{cilindro}}$.

Respostas: $V_{\text{cil}} = 7850 \text{ cm}^3$; $V_{\text{cone}} \approx 2616{,}67 \text{ cm}^3$; $V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} V_{\text{cil}}$.

7. Dados: cilindro com $r = 5$ cm, $h = 12$ cm; hemisférios com $r = 5$ cm.

(a) Volume total:

Volume do cilindro: $V_{\text{cil}} = \pi r^2 h = 3{,}14 \times 25 \times 12 = 942 \text{ cm}^3$

Dois hemisférios formam uma esfera completa: $V_{\text{esfera}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 125 = \dfrac{1570}{3} \approx 523{,}33 \text{ cm}^3$

$V_{\text{total}} = 942 + 523{,}33 = 1465{,}33 \text{ cm}^3$

(b) Área total da superfície externa:

A superfície externa é composta pela lateral do cilindro + superfície de 2 hemisférios (= 1 esfera completa). As tampas planas são internas (encaixe), logo não contam.

Lateral do cilindro: $A_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2 \times 3{,}14 \times 5 \times 12 = 376{,}8 \text{ cm}^2$

Superfície da esfera: $A_{\text{esf}} = 4\pi r^2 = 4 \times 3{,}14 \times 25 = 314 \text{ cm}^2$

$A_{\text{total}} = 376{,}8 + 314 = 690{,}8 \text{ cm}^2$

Respostas: $V_{\text{total}} \approx 1465{,}33 \text{ cm}^3$; $A_{\text{total}} = 690{,}8 \text{ cm}^2$

8. Dados: esfera com $r = 4$ cm; caixa cúbica com aresta $a = 2r = 8$ cm.

(a) Volume da esfera:

$V_{\text{esf}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 4^3 = \frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 64 = \frac{4 \times 200{,}96}{3} = \frac{803{,}84}{3} \approx 267{,}95 \text{ cm}^3$

(b) Volume da caixa:

$V_{\text{caixa}} = 8^3 = 512 \text{ cm}^3$

(c) Volume do espaço vazio:

$V_{\text{vazio}} = V_{\text{caixa}} - V_{\text{esf}} = 512 - 267{,}95 = 244{,}05 \text{ cm}^3$

(d) Porcentagem ocupada pela esfera:

$\text{porcentagem} = \frac{V_{\text{esf}}}{V_{\text{caixa}}} \times 100 = \frac{267{,}95}{512} \times 100 \approx 52{,}3\%$

Respostas: $V_{\text{esf}} \approx 267{,}95 \text{ cm}^3$; $V_{\text{caixa}} = 512 \text{ cm}^3$; $V_{\text{vazio}} \approx 244{,}05 \text{ cm}^3$; a esfera ocupa $\approx 52{,}3\%$ da caixa.