Progressões aritméticas e funções afins

1. Calculando as diferenças consecutivas:

$7 - 3 = 4, \quad 11 - 7 = 4, \quad 15 - 11 = 4, \quad 19 - 15 = 4$

Como todas as diferenças são iguais, a sequência é uma PA com razão $r = 4$.

2. Usando $a_n = a_1 + (n-1)r = 5 + (n-1) \times 4$:

• $a_1 = 5$
• $a_2 = 5 + 4 = 9$
• $a_3 = 9 + 4 = 13$
• $a_4 = 13 + 4 = 17$
• $a_5 = 17 + 4 = 21$

Para o 10º termo:

$a_{10} = 5 + (10-1) \times 4 = 5 + 36 = 41$

Resposta: os 5 primeiros termos são $5, 9, 13, 17, 21$ e $a_{10} = 41$.

3. Dados: $a_1 = 20$, $r = 5$, $n = 15$.

15º treino:

$a_{15} = 20 + (15-1) \times 5 = 20 + 70 = 90 \text{ abdominais}$

Total acumulado em 15 treinos:

$S_{15} = \frac{15(a_1 + a_{15})}{2} = \frac{15(20 + 90)}{2} = \frac{15 \times 110}{2} = \frac{1650}{2} = 825 \text{ abdominais}$

Respostas: no 15º treino o atleta fará 90 abdominais; o total é 825 abdominais.

4. Se $x$, $3x - 2$, $5x + 1$ estão em PA, a diferença entre termos consecutivos deve ser constante:

$(3x - 2) - x = (5x + 1) - (3x - 2)$

$2x - 2 = 2x + 3$

Isso daria $-2 = 3$, o que é impossível. Verifiquemos a condição de PA diretamente: o termo do meio é a média aritmética dos extremos:

$3x - 2 = \frac{x + (5x+1)}{2} = \frac{6x+1}{2}$

$2(3x - 2) = 6x + 1$

$6x - 4 = 6x + 1$

$-4 = 1$

Isso é impossível, indicando que para nenhum valor real de $x$ os três termos formam uma PA (sistema inconsistente).

Nota de correção: O enunciado deve ser revisado. Usando a condição alternativa $2(3x-2) = x + (5x+1)$, que é equivalente, chegamos à mesma contradição. Um enunciado correto seria, por exemplo, $x$, $3x-2$ e $5x-1$:

$2(3x-2) = x + (5x-1) \implies 6x - 4 = 6x - 1 \implies -4 = -1$

Ou os termos $x$, $2x+1$ e $4x-3$:

$2(2x+1) = x + (4x-3) \implies 4x+2 = 5x-3 \implies x = 5$

Termos: $5,\ 11,\ 17$, razão $r = 6$. ✓

Resposta com termos corrigidos ($x$, $2x+1$, $4x-3$): $x = 5$; termos: $5, 11, 17$.

5. Dados: $a_1 = 1800$, $r = 120$ (reais/ano).

(a) Função afim:

$f(n) = a_1 + (n-1)r = 1800 + 120(n-1) = 1800 + 120n - 120 = 120n + 1680$

Portanto $f(n) = 120n + 1680$ (com $n \geq 1$, inteiro).

(b) Ano em que o salário atinge R$ 3.000,00:

$120n + 1680 = 3000$

$120n = 1320$

$n = 11$

No 11º ano o salário será R$ 3.000,00.

(c) Total pago nos 10 primeiros anos:

$a_{10} = 120 \times 10 + 1680 = 1200 + 1680 = 2880$

$S_{10} = \frac{10(a_1 + a_{10})}{2} = \frac{10(1800 + 2880)}{2} = \frac{10 \times 4680}{2} = 23.400 \text{ reais}$

Respostas: $f(n) = 120n + 1680$; atingirá R$ 3.000,00 no 11º ano; total nos 10 primeiros anos = R$ 23.400,00.

6. (a) Termo geral para $n \geq 2$:

$S_n = 3n^2 + 2n, \quad S_{n-1} = 3(n-1)^2 + 2(n-1) = 3n^2 - 6n + 3 + 2n - 2 = 3n^2 - 4n + 1$

$a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 + 2n) - (3n^2 - 4n + 1) = 6n - 1$

(b) Primeiro termo:

$a_1 = S_1 = 3(1)^2 + 2(1) = 3 + 2 = 5$

Verificação: $a_1 = 6(1) - 1 = 5$ ✓ (a fórmula vale para $n = 1$ também).

(c) Razão da PA:

$r = a_2 - a_1 = [6(2)-1] - [6(1)-1] = 11 - 5 = 6$

Ou simplesmente: como $a_n = 6n - 1$ é uma função afim de $n$ com coeficiente angular 6, a razão é $r = 6$. ✓

Respostas: $a_n = 6n - 1$; $a_1 = 5$; razão $r = 6$.

7. (a) Forma de função afim:

$a_n = a_1 + (n-1)r = a_1 + rn - r = rn + (a_1 - r)$

Comparando com $f(n) = mn + b$:

• Coeficiente angular: $m = r$ (a razão da PA)
• Coeficiente linear: $b = a_1 - r$

(b) Encontrando $a_1$ e $r$:

$a_3 = a_1 + 2r = 11$ e $a_7 = a_1 + 6r = 23$.

Subtraindo a primeira da segunda: $4r = 12 \implies r = 3$.

Substituindo: $a_1 + 2(3) = 11 \implies a_1 = 5$.

Função afim: $a_n = 3n + (5 - 3) = 3n + 2$.

Verificação: $a_3 = 3(3)+2 = 11$ ✓; $a_7 = 3(7)+2 = 23$ ✓.

(c) Soma dos 20 primeiros termos:

$a_{20} = 3(20) + 2 = 62$

$S_{20} = \frac{20(a_1 + a_{20})}{2} = \frac{20(5 + 62)}{2} = \frac{20 \times 67}{2} = 670$

Respostas: (a) coef. angular $= r$, coef. linear $= a_1 - r$; (b) $r = 3$, $a_1 = 5$, $a_n = 3n+2$; (c) $S_{20} = 670$.

8. Dados: $a_1 = 80$, $r = 20$ (reais/mês).

(a) Poupança no 12º mês:

$a_{12} = 80 + (12-1) \times 20 = 80 + 220 = 300 \text{ reais}$

(b) Total poupado ao final de 12 meses:

$S_{12} = \frac{12(a_1 + a_{12})}{2} = \frac{12(80 + 300)}{2} = \frac{12 \times 380}{2} = 2280 \text{ reais}$

(c) Número de meses para poupar R$ 2.100,00:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(80 + 80 + 20(n-1))}{2} = \frac{n(160 + 20n - 20)}{2} = \frac{n(140 + 20n)}{2} = n(70 + 10n) = 10n^2 + 70n$

Igualando a 2100:

$10n^2 + 70n = 2100 \implies n^2 + 7n - 210 = 0$

Discriminante: $\Delta = 49 + 840 = 889$. $\sqrt{889} \approx 29{,}8$.

$n = \frac{-7 + 29{,}8}{2} \approx \frac{22{,}8}{2} \approx 11{,}4$

Como $n$ deve ser inteiro, testamos:

• $S_{11} = 10(121) + 70(11) = 1210 + 770 = 1980 < 2100$
• $S_{12} = 10(144) + 70(12) = 1440 + 840 = 2280 \geq 2100$

Após 12 meses completos o estudante terá poupado o suficiente (R$ 2.280,00 $\geq$ R$ 2.100,00).

Respostas: (a) R$ 300,00; (b) R$ 2.280,00; (c) 12 meses.