Progressões geométricas e funções exponenciais

1. Calculando as razões entre termos consecutivos:

$\frac{6}{2} = 3, \quad \frac{18}{6} = 3, \quad \frac{54}{18} = 3, \quad \frac{162}{54} = 3$

Como todas as razões são iguais, a sequência é uma PG com razão $q = 3$.

2. Usando $a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$:

• $a_1 = 3$
• $a_2 = 6$
• $a_3 = 12$
• $a_4 = 24$
• $a_5 = 48$

8º termo: $a_8 = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384$.

Resposta: os 5 primeiros termos são $3, 6, 12, 24, 48$; $a_8 = 384$.

3. Dados: $a_0 = 50$ (hora 0), $q = 2$ (dobra a cada hora).

O número de bactérias após $n$ horas: $a_n = 50 \cdot 2^n$.

(a) Após 6 horas:

$a_6 = 50 \cdot 2^6 = 50 \cdot 64 = 3200 \text{ bactérias}$

(b) Encontrando $n$ tal que $50 \cdot 2^n > 3200$:

$2^n > 64 = 2^6 \implies n > 6$

Portanto, após 7 horas a cultura terá mais de 3.200 bactérias ($a_7 = 50 \cdot 128 = 6400$).

Respostas: (a) 3.200 bactérias; (b) após 7 horas.

4. Se $x+1$, $3x$ e $7x+3$ estão em PG, o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos extremos:

$(3x)^2 = (x+1)(7x+3)$

$9x^2 = 7x^2 + 3x + 7x + 3$

$9x^2 = 7x^2 + 10x + 3$

$2x^2 - 10x - 3 = 0$

Usando a fórmula de Bhaskara:

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 24}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{124}}{4} = \frac{10 \pm 2\sqrt{31}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{31}}{2}$

Como $\sqrt{31} \approx 5{,}57$, as raízes são $x \approx \dfrac{5 + 5{,}57}{2} \approx 5{,}28$ (positiva) ou $x \approx \dfrac{5 - 5{,}57}{2} \approx -0{,}28$ (negativa).

Para a raiz positiva $x = \dfrac{5 + \sqrt{31}}{2}$, os termos seriam irracionais. Para um enunciado com resposta inteira, o problema foi intencionalmente construído com $x = 3$:

Verificação com $x = 3$: termos $4, 9, 24$. Razões: $9/4 = 2{,}25$ e $24/9 = 2{,}67$ — não são iguais, portanto $x=3$ não funciona.

Resposta exata: $x = \dfrac{5 + \sqrt{31}}{2} \approx 5{,}28$; termos $\approx 6{,}28;\; 15{,}85;\; 39{,}99$.

5. Dados: $a_0 = 500$, crescimento de 20% ao ano, ou seja, $q = 1{,}20$.

(a) Função:

$f(n) = 500 \cdot (1{,}2)^n$

É uma função exponencial de base $1{,}2$ e coeficiente inicial 500.

(b) Após 5 anos:

$f(5) = 500 \cdot (1{,}2)^5 = 500 \cdot 2{,}48832 \approx 1244 \text{ funcionários}$

(c) Anos para superar 2.500:

$500 \cdot (1{,}2)^n > 2500 \implies (1{,}2)^n > 5$

Aplicando logaritmo:

$n \cdot \log 1{,}2 > \log 5$

$n > \frac{\log 5}{\log 1{,}2} = \frac{0{,}6990}{0{,}0792} \approx 8{,}83$

Como $n$ deve ser inteiro, $n = 9$ anos.

Respostas: $f(n) = 500 \cdot (1{,}2)^n$ (função exponencial); após 5 anos $\approx$ 1.244 funcionários; após 9 anos superará 2.500.

6. Dados: $a_1 = 1$, $q = 2$, $n = 10$.

$S_{10} = 1 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = \frac{1024 - 1}{1} = 1023$

Resposta: $S_{10} = 1023$.

7. Dados: capital $C = 5000$, taxa mensal $i = 0{,}5\% = 0{,}005$.

(a) Fórmula do montante:

$M(n) = 5000 \cdot (1{,}005)^n$

(b) Montante após 12 meses:

$M(12) = 5000 \cdot (1{,}005)^{12} \approx 5000 \times 1{,}0617 = R\$\;5308{,}50$

(c) Meses para superar R$ 6.000,00:

$5000 \cdot (1{,}005)^n > 6000 \implies (1{,}005)^n > 1{,}2$

Aplicando logaritmo:

$n \cdot \log 1{,}005 > \log 1{,}2$

$n > \frac{0{,}0792}{0{,}00217} \approx 36{,}5$

Portanto, após 37 meses o montante superará R$ 6.000,00.

(d) Juros ganhos em 12 meses:

$J = M(12) - C = 5308{,}50 - 5000 = R\$\;308{,}50$

Respostas: $M(n) = 5000 \cdot (1{,}005)^n$; $M(12) \approx$ R$5.308,50; 37 meses; juros = R$ 308,50.

8. Dados: altura inicial de lançamento $H_0 = 4$ m, $q = 0{,}75$.

(a) Primeiros 4 termos (alturas dos quiques — somente subidas):

• $a_1 = 4 \times 0{,}75 = 3$ m (após 1º quique)
• $a_2 = 3 \times 0{,}75 = 2{,}25$ m
• $a_3 = 2{,}25 \times 0{,}75 = 1{,}6875$ m
• $a_4 = 1{,}6875 \times 0{,}75 \approx 1{,}2656$ m

(b) Soma total das subidas (PG infinita):

$S_{\text{subidas}} = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{3}{1 - 0{,}75} = \frac{3}{0{,}25} = 12 \text{ m}$

(c) Distância total percorrida:

A bola cai 4 m inicialmente (lançamento). Depois, em cada quique, ela sobe e depois desce a mesma altura. Logo:

$d_{\text{total}} = 4 + 2 \times S_{\text{subidas}} = 4 + 2 \times 12 = 4 + 24 = 28 \text{ m}$

Respostas: (a) $3;\; 2{,}25;\; 1{,}6875;\; 1{,}2656$ m; (b) soma das subidas $= 12$ m; (c) distância total $= 28$ m.