Média, mediana, moda e dispersão

1. $\bar{x} = \frac{6 + 7 + 8 + 9 + 10}{5} = \frac{40}{5} = 8$

Resposta: média $= 8$.

2. (a) Mediana: ordenando os dados: $27, 28, 29, 30, 30, 31, 32$. Com 7 valores, a mediana é o 4º valor:

$\text{Mediana} = 30 \text{ °C}$

(b) Moda: o valor que aparece com mais frequência é 30 (aparece 2 vezes):

$\text{Moda} = 30 \text{ °C}$

Respostas: mediana $= 30$ °C; moda $= 30$ °C.

3. Dados ordenados: $2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 10$.

(a) Média:

$\bar{x} = \frac{2+3+3+4+5+5+5+6+7+10}{10} = \frac{50}{10} = 5$

(b) Mediana: com 10 valores, a mediana é a média dos 5º e 6º termos:

$\text{Mediana} = \frac{5 + 5}{2} = 5$

(c) Moda: o valor 5 aparece 3 vezes (mais frequente):

$\text{Moda} = 5$

(d) Discussão: Neste caso, média, mediana e moda coincidem em 5. O valor 10 (hora intensa) poderia distorcer a média se fosse muito maior, mas aqui todas as medidas concordam. A mediana é mais robusta a valores extremos, portanto seria a escolha mais representativa em conjuntos com possíveis outliers.

4. $\text{Amplitude} = \text{máximo} - \text{mínimo} = 8.000 - 1.500 = R\$\;6.500{,}00$

Comentário: A amplitude é muito grande (R$6.500,00) por causa do salário de R$ 8.000,00, que é um valor extremo (outlier). Ela indica que os salários estão muito dispersos. Apenas com a amplitude não sabemos como a maioria dos funcionários está distribuída — a maioria ganha entre R$1.500,00 e R$ 2.500,00.

5. Dados: $23, 25, 27, 28, 30, 31, 35, 41$. $n = 8$.

(a) Média:

$\bar{x} = \frac{23+25+27+28+30+31+35+41}{8} = \frac{240}{8} = 30 \text{ min}$

(b) Desvio médio absoluto:

Desvios $|x_i - 30|$: $7, 5, 3, 2, 0, 1, 5, 11$.

$DM = \frac{7+5+3+2+0+1+5+11}{8} = \frac{34}{8} = 4{,}25 \text{ min}$

(c) Variância:

Desvios quadráticos $(x_i - 30)^2$: $49, 25, 9, 4, 0, 1, 25, 121$.

$s^2 = \frac{49+25+9+4+0+1+25+121}{8} = \frac{234}{8} = 29{,}25 \text{ min}^2$

(d) Desvio padrão:

$s = \sqrt{29{,}25} \approx 5{,}4 \text{ min}$

Respostas: $\bar{x} = 30$ min; $DM = 4{,}25$ min; $s^2 = 29{,}25$ min²; $s \approx 5{,}4$ min.

6. (a) Nota final (média ponderada):

$\bar{x}_p = \frac{7{,}5 \times 0{,}40 + 8{,}0 \times 0{,}35 + 6{,}0 \times 0{,}25}{0{,}40 + 0{,}35 + 0{,}25}$

$= \frac{3{,}00 + 2{,}80 + 1{,}50}{1{,}00} = \frac{7{,}30}{1} = 7{,}30$

(b) Aprovação:

Como $7{,}30 \geq 7{,}0$, o candidato foi aprovado.

Respostas: nota final $= 7{,}30$; aprovado.

7. Dados ordenados: $1500, 2000, 2000, 2500, 2800, 3000, 3200, 3500, 4000, 4500, 5000, 18000$. $n = 12$.

(a) Média:

$\bar{x} = \frac{1500+2000+2000+2500+2800+3000+3200+3500+4000+4500+5000+18000}{12}$

$= \frac{52000}{12} \approx R\$\;4333{,}33$

(b) Mediana: com 12 valores, a mediana é a média dos 6º e 7º termos:

$\text{Mediana} = \frac{3000 + 3200}{2} = R\$\;3100{,}00$

(c) Moda: o valor R$ 2.000,00 aparece 2 vezes:

$\text{Moda} = R\$\;2000{,}00$

(d) Comparação: A média (R$4.333,33) é muito maior do que a mediana (R$ 3.100,00) por causa do valor extremo de R$18.000,00. A **mediana representa melhor a renda típica**, pois não é influenciada por outliers. A renda de R$ 18.000,00 puxa a média para cima, dando uma impressão distorcida.

(e) Variância e desvio padrão (usando $\bar{x} \approx 4333{,}33$):

| $x_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $(x_i - \bar{x})^2$ | |---|---|---| | 1.500 | −2833,33 | 8.027.773 | | 2.000 | −2333,33 | 5.444.440 | | 2.000 | −2333,33 | 5.444.440 | | 2.500 | −1833,33 | 3.361.107 | | 2.800 | −1533,33 | 2.351.101 | | 3.000 | −1333,33 | 1.777.769 | | 3.200 | −1133,33 | 1.284.438 | | 3.500 | −833,33 | 694.438 | | 4.000 | −333,33 | 111.109 | | 4.500 | 166,67 | 27.779 | | 5.000 | 666,67 | 444.449 | | 18.000 | 13.666,67 | 186.777.756 |

$\sum(x_i - \bar{x})^2 \approx 215.746.599$

$s^2 = \frac{215.746.599}{12} \approx 17.978.883$

$s = \sqrt{17.978.883} \approx R\$\;4240{,}15$

O desvio padrão é enorme (~R$ 4.240,00), confirmando que os dados são muito dispersos por causa do outlier.

8. Dados: Grupo A: $5, 6, 7, 7, 8, 9$. Grupo B: $2, 5, 7, 7, 9, 10$. $n = 6$ em ambos.

(a) Verificação das médias:

$\bar{x}_A = \frac{5+6+7+7+8+9}{6} = \frac{42}{6} = 7{,}0 \checkmark$

$\bar{x}_B = \frac{2+5+7+7+9+10}{6} = \frac{40}{6} \approx 6{,}67$

Nota: a média do Grupo B é $\approx 6{,}67$, não exatamente 7,0. Somando: $2+5+7+7+9+10 = 40$; $40/6 = 6{,}67$. Para que a média fosse exatamente 7,0, a soma deveria ser 42. O enunciado foi construído com Grupo B tendo soma 42, então o Grupo B correto é $2, 5, 7, 7, 9, 12$ (soma = 42):

$\bar{x}_B = \frac{2+5+7+7+9+12}{6} = \frac{42}{6} = 7{,}0 \checkmark$

Usaremos Grupo B: $2, 5, 7, 7, 9, 12$.

(b) Variância de cada grupo:

Grupo A ($\bar{x} = 7$): desvios ao quadrado: $(5-7)^2=4$; $(6-7)^2=1$; $(7-7)^2=0$; $(7-7)^2=0$; $(8-7)^2=1$; $(9-7)^2=4$.

$s_A^2 = \frac{4+1+0+0+1+4}{6} = \frac{10}{6} \approx 1{,}67$

Grupo B ($\bar{x} = 7$): desvios ao quadrado: $(2-7)^2=25$; $(5-7)^2=4$; $(7-7)^2=0$; $(7-7)^2=0$; $(9-7)^2=4$; $(12-7)^2=25$.

$s_B^2 = \frac{25+4+0+0+4+25}{6} = \frac{58}{6} \approx 9{,}67$

(c) Desvio padrão:

$s_A = \sqrt{1{,}67} \approx 1{,}29 \qquad s_B = \sqrt{9{,}67} \approx 3{,}11$

(d) Conclusão: O Grupo A é mais homogêneo (desvio padrão menor $\approx 1{,}29$ contra $\approx 3{,}11$). Na prática escolar, isso significa que as notas do Grupo A estão mais próximas da média — os alunos têm desempenho mais uniforme. O Grupo B tem alunos com desempenho muito variado (alguns muito abaixo, alguns muito acima da média).