Polígonos regulares: área e perímetro como funções

1. $P(l) = 4l$

É uma função linear (ou proporcional) de coeficiente angular 4, domínio $l > 0$.

Para $l = 5$ cm: $P = 4 \times 5 = 20$ cm.

2. (a) Para $l = 6$ cm:

$A(6) = \frac{6^2 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \approx 9 \times 1{,}732 = 15{,}59 \text{ cm}^2$

(b) $A(l) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\,l^2$ é uma função quadrática (polinomial de grau 2) em $l$, com coeficiente $\dfrac{\sqrt{3}}{4} \approx 0{,}433$ e sem termos lineares ou constantes (é uma função quadrática sem vértice deslocado: $A(0) = 0$).

3. (a) Para hexágono ($n = 6$): $P(l) = 6l$.

Para $l = 4$ cm: $P = 6 \times 4 = 24$ cm.

(b) $P(l) = 6l$ é função linear com coeficiente angular 6. Domínio natural: $l \in \mathbb{R}^+$ (comprimentos positivos).

(c) Para pentágono ($n = 5$): $P = 5l = 35 \implies l = 7$ cm.

Respostas: $P(4) = 24$ cm; coef. angular = 6; lado do pentágono = 7 cm.

4. Para $l = 8$ cm:

$A_{\square} = 8^2 = 64 \text{ cm}^2$

$A_{\triangle} = \frac{8^2 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \times 1{,}732}{4} = \frac{110{,}848}{4} \approx 27{,}71 \text{ cm}^2$

O quadrado tem maior área (64 cm² > 27,71 cm²).

5. (a) $A(l) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,l^2 \approx \dfrac{3 \times 1{,}732}{2}\,l^2 = \dfrac{5{,}196}{2}\,l^2 \approx 2{,}598\,l^2$.

É uma função quadrática de coeficiente $\approx 2{,}598$, com domínio $l > 0$.

(b) $A(4) = 2{,}598 \times 16 \approx 41{,}57 \text{ cm}^2$

$A(8) = 2{,}598 \times 64 \approx 166{,}27 \text{ cm}^2$

$\frac{A(8)}{A(4)} = \frac{166{,}27}{41{,}57} = 4{,}0 \checkmark$

Sim, quando o lado dobra a área quadruplica, pois $A \propto l^2$.

(c) Para $l = 10$ cm $= 0{,}1$ m:

$A = 2{,}598 \times 100 = 259{,}8 \text{ cm}^2 = 0{,}02598 \text{ m}^2$

Número de azulejos para $30 \text{ m}^2$:

$n = \frac{30}{0{,}02598} \approx 1155 \text{ azulejos}$

Respostas: função quadrática, coef. $\approx 2{,}598$; área quadruplica ao dobrar o lado (verificado); $\approx 1155$ azulejos.

6. Com $P = 24$ cm:

(a) Triângulo equilátero: $l = 24/3 = 8$ cm.

$A_{\triangle} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \approx 27{,}71 \text{ cm}^2$

(b) Quadrado: $l = 24/4 = 6$ cm.

$A_{\square} = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$

(c) Hexágono regular: $l = 24/6 = 4$ cm.

$A_{\text{hex}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 16 = 24\sqrt{3} \approx 41{,}57 \text{ cm}^2$

Ordem crescente: triângulo ($\approx 27{,}71$) < quadrado ($36$) < hexágono ($\approx 41{,}57$).

Observação: Para um mesmo perímetro, quanto maior o número de lados do polígono regular, maior a área. O círculo seria o caso limite (número infinito de lados), com a maior área possível para dado perímetro — isso é o Problema Isoperimétrico.

7. Dados: $A(l) = 4{,}828\,l^2$.

(a) $A(l)$ é uma função quadrática em $l$. Domínio contextual: $l > 0$ (metros), com valores práticos como $l \in (0, 50]$ para praças urbanas.

(b) Para $l = 15$ m:

$A(15) = 4{,}828 \times 15^2 = 4{,}828 \times 225 = 1086{,}3 \text{ m}^2$

(c) $A(30) = 4{,}828 \times 900 = 4345{,}2 \text{ m}^2$

$\frac{A(30)}{A(15)} = \frac{4345{,}2}{1086{,}3} = 4{,}0$

Sim, a área quadruplica quando o lado dobra. ✓

(d) Custo total:

$\text{Custo} = 1086{,}3 \times 180 = R\$\;195.534{,}00$

Respostas: (a) quadrática, $l > 0$; (b) $A(15) \approx 1086{,}3$ m²; (c) quadruplica; (d) R$ 195.534,00.

8. (a) Para $l = 10$ m:

$A_A(10) = 100 \text{ m}^2$

$A_B(10) = 0{,}433 \times 100 = 43{,}3 \text{ m}^2$

$A_C(10) = 2{,}598 \times 100 = 259{,}8 \text{ m}^2$

(b) Resolvendo $2{,}598\,l^2 = 2l^2$:

$2{,}598\,l^2 = 2\,l^2 \implies 2{,}598 = 2$

Isso é uma contradição — as duas expressões nunca são iguais para $l \neq 0$. Isso significa que $A_C(l)$ sempre é aproximadamente 2,598 vezes $l^2$, enquanto $2l^2$ é 2 vezes $l^2$. Como $2{,}598 > 2$, a área do hexágono é sempre maior que o dobro da área do quadrado. Não existe $l > 0$ que satisfaça a equação.

Nota: o enunciado deve ser corrigido para, por exemplo, "para qual $l$ a área do hexágono é igual a 6 vezes a área do triângulo equilátero?" Nesse caso: $2{,}598\,l^2 = 6 \times 0{,}433\,l^2 = 2{,}598\,l^2$ — verdade para todo $l$, logo os dois lados são sempre iguais!

(c) As três funções são funções quadráticas (polinomiais de grau 2) do tipo $A = k \cdot l^2$, com $k$ diferente para cada polígono. Os gráficos são parábolas passando pela origem, com a mesma forma mas concavidades diferentes (diferentes valores de $k$): o hexágono tem o gráfico mais "largo" (cresce mais rápido), e o triângulo tem o mais "fechado".

(d) A eficiência área/perímetro² é a razão $\dfrac{A}{P^2}$. Para cada polígono com lado $l$ e $n$ lados: $P = nl$, logo $P^2 = n^2 l^2$.

• Triângulo ($n=3$): $\dfrac{0{,}433\,l^2}{9\,l^2} \approx 0{,}0481$
• Quadrado ($n=4$): $\dfrac{l^2}{16\,l^2} = 0{,}0625$
• Hexágono ($n=6$): $\dfrac{2{,}598\,l^2}{36\,l^2} \approx 0{,}0722$

O hexágono regular é o mais eficiente (maior área por unidade de perímetro²).