Ajuste linear e dispersão

1. (a) A relação é crescente: quando as horas aumentam, a nota também aumenta.

(b) A variação é de 5 pontos a cada 1 hora. Logo, o coeficiente angular é $5$. Usando o ponto $(1,55)$:

$55=5\cdot 1+b$

$b=50$

A reta é:

$N(h)=5h+50$

(c)

$N(5)=5\cdot 5+50=75$

Estimativa: 75 pontos.

2. (a)

$\bar{x}=\frac{4+7+7+10}{4}=\frac{28}{4}=7$

Média: 7.

(b)

$10-4=6$

Amplitude: 6.

(c) A amplitude informa a distância entre o maior e o menor valor. Quanto maior a amplitude, maior a dispersão total do conjunto, embora ela não mostre como os valores intermediários estão distribuídos.

3. (a) De 20 °C a 22 °C, as vendas aumentam de 80 para 92:

$\frac{92-80}{22-20}=\frac{12}{2}=6$

Taxa: 6 garrafas por °C.

(b) Com coeficiente angular $6$ e ponto $(20,80)$:

$80=6\cdot 20+b$

$b=-40$

Modelo:

$V(t)=6t-40$

(c)

$V(30)=6\cdot 30-40=140$

Estimativa: 140 garrafas.

4. (a)

$\bar{x}_A=\frac{8+9+10+11+12}{5}=10$

$\bar{x}_B=\frac{2+6+10+14+18}{5}=10$

Ambos têm média 10.

(b)

$A_A=12-8=4$

$A_B=18-2=16$

(c) O conjunto B é mais disperso, pois tem amplitude 16, maior que a amplitude 4 do conjunto A. Apesar de terem a mesma média, os valores de B ficam mais afastados do centro.

5. (a) Valores previstos por $\hat{y}=2{,}5x+1050$:

• Para $x=100$: $\hat{y}=250+1050=1300$
• Para $x=200$: $\hat{y}=500+1050=1550$
• Para $x=300$: $\hat{y}=750+1050=1800$
• Para $x=400$: $\hat{y}=1000+1050=2050$

(b) Resíduos = observado - previsto:

• $1300-1300=0$
• $1560-1550=10$
• $1770-1800=-30$
• $2050-2050=0$

(c) Sim, o modelo parece adequado para uma descrição aproximada, pois os resíduos são pequenos em comparação com os valores de venda e não mostram erro crescente forte. Ele não é perfeito, mas resume bem a tendência linear positiva.

6. (a)

$\bar{x}=\frac{2+4+4+6}{4}=4$

(b) Desvios:

$2-4=-2,\quad 4-4=0,\quad 4-4=0,\quad 6-4=2$

(c) Variância populacional:

$\sigma^2=\frac{(-2)^2+0^2+0^2+2^2}{4}=\frac{8}{4}=2$

(d) Desvio padrão:

$\sigma=\sqrt{2}\approx 1{,}41$

7. (a) Usando os pontos $(1,600)$ e $(5,1220)$:

$m=\frac{1220-600}{5-1}=\frac{620}{4}=155$

Com $(1,600)$:

$600=155\cdot 1+b$

$b=445$

Reta:

$C(x)=155x+445$

(b)

$C(6)=155\cdot 6+445=1375$

Estimativa: R$ 1.375,00.

(c) Resíduos = observado - previsto:

Para 2 anos:

$C(2)=155\cdot 2+445=755$

$780-755=25$

Para 3 anos:

$C(3)=155\cdot 3+445=910$

$850-910=-60$

Para 4 anos:

$C(4)=155\cdot 4+445=1065$

$1050-1065=-15$

Resíduos: 25, -60 e -15 reais.

(d) A reta usa apenas os pontos extremos; por isso, pode ignorar oscilações internas dos dados. Além disso, extrapolar para idades muito maiores que as observadas pode gerar estimativas pouco confiáveis.

8. (a) Na Região A, a produção aumenta 6 t quando a chuva aumenta 20 mm:

$m=\frac{6}{20}=0{,}3$

Usando $(40,12)$:

$12=0{,}3\cdot 40+b$

$b=0$

Modelo:

$P_A(c)=0{,}3c$

(b) Para a Região B, usando $(40,10)$ e $(100,35)$:

$m=\frac{35-10}{100-40}=\frac{25}{60}=\frac{5}{12}\approx 0{,}4167$

Com $(40,10)$:

$10=\frac{5}{12}\cdot 40+b$

$10=\frac{200}{12}+b$

$b=-\frac{20}{3}\approx -6{,}67$

Modelo:

$P_B(c)=\frac{5}{12}c-\frac{20}{3}$

(c) Resíduos da Região B:

Para 40 mm e 100 mm, os resíduos são 0, pois a reta foi construída pelos extremos.

Para 60 mm:

$P_B(60)=\frac{5}{12}\cdot 60-\frac{20}{3}=25-\frac{20}{3}=\frac{55}{3}\approx 18{,}33$

$22-18{,}33\approx 3{,}67$

Para 80 mm:

$P_B(80)=\frac{5}{12}\cdot 80-\frac{20}{3}=\frac{100}{3}-\frac{20}{3}=\frac{80}{3}\approx 26{,}67$

$21-26{,}67\approx -5{,}67$

Os resíduos internos têm sinais opostos e magnitude relevante, indicando maior dispersão em relação à reta.

(d) A Região A tem relação linear mais estável, pois todos os pontos seguem exatamente o modelo $P_A(c)=0{,}3c$. Na Região B, os pontos variam mais em torno da reta ajustada.