Modelagem com polígonos e áreas

1. (a) O perímetro é:

$P(l)=4l$

(b) A área é:

$A(l)=l^2$

(c) $P(l)=4l$ é uma função linear. $A(l)=l^2$ é uma função quadrática.

2. (a)

$A(10)=\frac{1{,}732}{4}\cdot 10^2$

$A(10)=0{,}433\cdot 100=43{,}3$

Área: 43,3 cm².

(b) Como $A(l)$ é proporcional a $l^2$, ao dobrar o lado a área é multiplicada por:

$2^2=4$

A área será multiplicada por 4.

3. (a) Cada triângulo equilátero tem área:

$A_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}l^2$

Como o hexágono regular é composto por 6 desses triângulos:

$A_h=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}l^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}l^2$

(b) Para $l=6$:

$A_h=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 36=54\sqrt{3}$

$A_h\approx 54\cdot 1{,}732=93{,}528$

Área aproximada: 93,53 cm².

(c)

$P=6l=6\cdot 6=36$

Perímetro: 36 cm.

4. (a) Área do quadrado:

$20^2=400$

Área de cada triângulo:

$\frac{12\cdot 16}{2}=96$

Área total:

$400+2\cdot 96=592$

Área total: 592 m².

(b)

$592\cdot 85=50320$

Custo de pavimentação: R$ 50.320,00.

5. (a) Pela fórmula do trapézio:

$A=\frac{(B+b)h}{2}=\frac{(48+30)\cdot 20}{2}$

$A=\frac{78\cdot 20}{2}=780$

Área: 780 m².

(b) Uma decomposição possível é usar um retângulo de base 30 m e altura 20 m, mais dois triângulos laterais cuja soma das bases é $48-30=18$ m.

Área do retângulo:

$30\cdot 20=600$

Soma das áreas dos triângulos:

$\frac{18\cdot 20}{2}=180$

Total:

$600+180=780$

O resultado coincide com a fórmula do trapézio.

(c)

$780\cdot 22{,}50=17550$

Custo total: R$ 17.550,00.

6. (a) A cerca cobre duas larguras $x$ e um comprimento $c$:

$2x+c=24$

Logo:

$c=24-2x$

(b)

$A(x)=x(24-2x)=24x-2x^2$

(c) O valor de máximo ocorre no vértice:

$x_v=-\frac{24}{2(-2)}=6$

(d)

$A(6)=24\cdot 6-2\cdot 6^2=144-72=72$

Área máxima: 72 m².

7. (a) A peça é formada por um quadrado e 4 triângulos equiláteros:

$A(s)=s^2+4\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$

$A(s)=s^2+\sqrt{3}s^2=(1+\sqrt{3})s^2$

Com $\sqrt{3}\approx 1{,}732$:

$A(s)\approx 2{,}732s^2$

(b) Para $s=8$ cm:

$A(8)\approx 2{,}732\cdot 64=174{,}848$

Área aproximada: 174,85 cm².

(c) Convertendo:

$174{,}85\text{ cm}^2=0{,}017485\text{ m}^2$

Quantidade de peças:

$\frac{12}{0{,}017485}\approx 686{,}30$

Como não é possível usar fração de peça no mínimo inteiro, são necessárias 687 peças.

8. (a) A área total é a soma da área do quadrado com a área do hexágono:

$T(x)=x^2+2{,}598x^2=3{,}598x^2$

(b) Para $x=12$:

$T(12)=3{,}598\cdot 144=518{,}112$

Área total: aproximadamente 518,11 m².

(c) Queremos:

$3{,}598x^2\leq 800$

$x^2\leq \frac{800}{3{,}598}\approx 222{,}35$

$x\leq \sqrt{222{,}35}\approx 14{,}91$

O maior valor inteiro possível é 14 m.

Verificação:

$T(14)=3{,}598\cdot 196=705{,}208 \leq 800$

$T(15)=3{,}598\cdot 225=809{,}55 > 800$

(d) $T(x)$ é uma função quadrática. O coeficiente $3{,}598$ representa a área total obtida quando $x=1$ m e também indica que toda a área cresce proporcionalmente a $x^2$.