Espaços amostrais e inferência estatística

1. Espaço amostral: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, com $|\Omega| = 6$.

Evento "número par": $A = \{2, 4, 6\}$, com $|A| = 3$.

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$

2. (a) $|\Omega| = 3 + 4 + 3 = 10$.

(b) $P(\text{azul}) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 = 40\%$.

(c) $P(\text{não vermelha}) = 1 - P(\text{vermelha}) = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10} = 70\%$.

Respostas: (a) 10; (b) $\frac{2}{5}$; (c) $\frac{7}{10}$.

3. O espaço amostral tem 36 resultados: $(1,1), (1,2), \ldots, (6,6)$.

(a) Soma = 7: pares $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ → 6 casos.

$P(\text{soma}=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\%$

(b) Soma > 10 (ou seja, soma = 11 ou 12): pares $(5,6), (6,5), (6,6)$ → 3 casos.

$P(\text{soma}>10) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \approx 8{,}3\%$

(c) Duplas: $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ → 6 casos.

$P(\text{dupla}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\%$

4. Dados: 200 jovens; 80 música, 70 vídeo, 50 redes.

(a) $P(\text{música}) = \dfrac{80}{200} = 0{,}40 = 40\%$.

(b) $P(\text{vídeo ou redes}) = \dfrac{70 + 50}{200} = \dfrac{120}{200} = 0{,}60 = 60\%$.

(c) Não são equiprováveis. Se fossem, cada categoria teria probabilidade $\frac{1}{3} \approx 33{,}3\%$. Mas as probabilidades são 40%, 35% e 25% — diferentes entre si. Os eventos têm probabilidades distintas pois dependem das preferências dos jovens, não de um mecanismo simétrico como um dado.

5. Dados: $n = 500$ peças; $d = 35$ defeituosas.

(a) Frequência relativa:

$f_{\text{def}} = \frac{35}{500} = 0{,}07 = 7\%$

(b) Probabilidade estimada (frequência relativa empírica):

$P(\text{defeituosa}) \approx 0{,}07 = 7\%$

(c) Esperança de peças defeituosas em 10.000:

$10000 \times 0{,}07 = 700 \text{ peças defeituosas}$

(d) A taxa encontrada é de 7%, que é maior que o limite aceitável de 5%. O resultado está fora do aceitável — a fábrica deve investigar e melhorar o processo de produção.

6. Dados: $n = 400$ entrevistados.

(a) Frequências relativas:

| Candidato | Frequência | Freq. relativa | |---|---|---| | Candidato A | 180 | $180/400 = 45\%$ | | Candidato B | 140 | $140/400 = 35\%$ | | Candidato C | 60 | $60/400 = 15\%$ | | Indecisos | 20 | $20/400 = 5\%$ | | Total | 400 | 100% |

(b) Estimativa para 800.000 eleitores (excluindo indecisos, 95% do total = 760.000 com intenção de voto):

• Candidato A: $800000 \times 0{,}45 = 360.000$
• Candidato B: $800000 \times 0{,}35 = 280.000$
• Candidato C: $800000 \times 0{,}15 = 120.000$
• Indecisos: $800000 \times 0{,}05 = 40.000$

(c) O Candidato A tem maior probabilidade de vencer (45% das intenções de voto).

(d) O resultado pode não refletir a realidade por: viés de seleção (a amostra pode não ser representativa), erro amostral (amostra pequena em relação ao eleitorado), mudança de intenção de voto entre a pesquisa e a eleição, indecisos que podem votar em qualquer candidato, e eleitores que não dizem sua verdadeira intenção (efeito espiral do silêncio).

7. Dados: temperatura $T$ varia uniformemente em $[28, 36]$ °C. Amplitude do intervalo: $36 - 28 = 8$ °C.

(a) $\Omega = [28, 36]$ (intervalo contínuo de números reais entre 28 e 36).

(b) Em uma distribuição contínua, a probabilidade de um valor exato é zero: $P(T = 32) = 0$. Isso ocorre porque há infinitos valores possíveis no intervalo, e um único ponto não tem "comprimento" (medida zero).

(c) Probabilidade de $30 \leq T \leq 34$:

$P(30 \leq T \leq 34) = \frac{34 - 30}{36 - 28} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 50\%$

(d) Probabilidade de $T > 33$:

$P(T > 33) = \frac{36 - 33}{36 - 28} = \frac{3}{8} = 37{,}5\%$

Respostas: (a) $\Omega = [28, 36]$; (b) $P = 0$ para valor exato; (c) 50%; (d) 37,5%.

8. Dados: $n = 2000$ domicílios; 1.400 com internet.

(a) Frequência relativa:

$f = \frac{1400}{2000} = 0{,}70 = 70\%$

(b) Probabilidade estimada:

$P(\text{internet}) \approx 0{,}70 = 70\%$

(c) Estimativa para 500.000 domicílios:

$500000 \times 0{,}70 = 350.000 \text{ domicílios com internet}$

(d) Condições para estimativa confiável:

1. Amostra aleatória: cada domicílio deve ter a mesma probabilidade de ser selecionado.
2. Representatividade: a amostra deve refletir a diversidade da população (zona urbana/rural, renda, etc.).
3. Tamanho suficiente: quanto maior a amostra, menor o erro amostral.
4. Sem viés de resposta: os entrevistados devem responder com honestidade.
5. Independência: a escolha de um domicílio não deve influenciar a escolha de outro.

(e) Margem de erro:

$E \approx \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{2000}} = \frac{1}{44{,}72} \approx 0{,}0224 = 2{,}24\%$

Interpretação: A estimativa de 70% de domicílios com acesso à internet tem uma margem de erro de aproximadamente $\pm 2{,}2$ pontos percentuais. Ou seja, o valor verdadeiro na população está provavelmente entre 67,8% e 72,2%.