MMC ou MDC? Como saber qual usar

A diferença em uma frase

MMC junta. MDC reparte.

Quando o problema fala de coisas que se repetem em ritmos diferentes e pergunta quando elas voltam a coincidir, isso é MMC — e a resposta é sempre um número maior do que os que apareceram no enunciado.

Quando o problema fala em dividir uma quantidade em partes iguais, sem sobra, e cada parte tem que ser a maior possível, isso é MDC — e a resposta é sempre um número menor do que os que apareceram no enunciado.

O teste de cinco segundos

Antes de calcular qualquer coisa, procure as palavras do enunciado.

Peça MMC quando aparecer:

• "ao mesmo tempo", "novamente juntos", "voltam a se encontrar";
• "a cada", "de quantos em quantos", qualquer ciclo que se repete;
• "o menor número que" satisfaz várias condições ao mesmo tempo.

Peça MDC quando aparecer:

• "dividir em partes iguais", "sem sobra", "sem deixar resto";
• "o maior pedaço possível", "o maior número de grupos";
• "repartir entre", "distribuir igualmente".

Depois confira a ordem de grandeza da resposta. Esse teste quase nunca falha:

• o MMC nunca é menor que o maior número do problema;
• o MDC nunca é maior que o menor número do problema.

Se você calculou o MMC de 15 e 18 e chegou a 3, o que você calculou foi o MDC. Se calculou o MDC de 20 e 30 e chegou a 60, o que você calculou foi o MMC.

Um método só resolve os dois

Quebre cada número em fatores primos:

$15 = 3 \times 5 \qquad 18 = 2 \times 3^2$

A partir daí só muda o que entra na conta.

MMC — todos os primos que aparecem, cada um com o maior expoente:

$\mathrm{MMC}(15, 18) = 2 \times 3^2 \times 5 = 90$

MDC — somente os primos que aparecem nos dois números, cada um com o menor expoente:

$\mathrm{MDC}(15, 18) = 3$

O 2 fica de fora do MDC porque não divide o 15, e o 5 fica de fora porque não divide o 18. É essa exigência de estar nos dois que faz o MDC ser pequeno.

Atalho para o MMC: fatoração simultânea

Divida os dois números ao mesmo tempo pelos primos, até sobrar 1 dos dois lados, e multiplique tudo o que ficou na coluna da direita:

$\begin{array}{rr|l} 15 & 18 & 2 \\ 15 & 9 & 3 \\ 5 & 3 & 3 \\ 5 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & \end{array}$

$\mathrm{MMC}(15, 18) = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90$

Repare que o 2 dividia só o 18 e mesmo assim entrou na conta. No MMC entra tudo.

Atalho para o MDC: divisões sucessivas

Esse é o algoritmo de Euclides, e ele compensa quando os números são grandes demais para fatorar com conforto. Divida o maior pelo menor e vá trocando: o divisor vira o próximo dividendo e o resto vira o próximo divisor.

$30 \div 20 = 1 \quad \text{resto } 10$

$20 \div 10 = 2 \quad \text{resto } 0$

Quando o resto chega a zero, o último divisor usado é o MDC. Aqui, $\mathrm{MDC}(20, 30) = 10$.

Exemplo de MMC: os dois guardas

Dois guardas saem juntos às 8h. Um faz a ronda a cada 15 minutos e o outro a cada 18. A que horas eles se encontram de novo no ponto de partida?

"Se encontram de novo" é um ciclo que se repete, então é MMC.

1. $\mathrm{MMC}(15, 18) = 90$ minutos.
2. 90 minutos são 60 + 30, ou seja, 1 hora e 30 minutos.
3. 8h + 1h30 = 9h30.

Dá para conferir sem refazer a conta: em 90 minutos o primeiro guarda deu $90 \div 15 = 6$ voltas e o segundo deu $90 \div 18 = 5$ voltas. Como as duas divisões deram números inteiros, os dois estão mesmo no ponto de partida.

Exemplo de MDC: as duas fitas

Uma fita tem 20 metros e outra tem 30. Você quer cortar as duas em pedaços do mesmo tamanho, o maior possível, sem desperdiçar fita. Qual o tamanho de cada pedaço?

"Pedaços iguais", "o maior possível" e "sem desperdiçar" são MDC.

$\mathrm{MDC}(20, 30) = 10$, portanto cada pedaço tem 10 metros.

O erro que mais custa ponto

Quase ninguém erra a conta. Erra-se por parar cedo demais.

Na maior parte dos problemas o MMC e o MDC não são a resposta: são o passo do meio. Volte ao enunciado e veja o que ele pedia de verdade.

• Achou 90 minutos, mas perguntaram que horas — converta e some ao horário inicial.
• Achou pedaços de 10 metros, mas perguntaram quantos pedaços — divida: $20 \div 10 = 2$ e $30 \div 10 = 3$, portanto 5 pedaços.
• Achou o MMC em dias, mas perguntaram que dia da semana — conte a partir do dia inicial.

Terminada a conta, releia a pergunta e confirme que ela pede o número que você encontrou.

Como conferir o resultado

Para dois números, vale sempre:

$\mathrm{MMC}(a, b) \times \mathrm{MDC}(a, b) = a \times b$

Nos guardas: $90 \times 3 = 270$, e $15 \times 18 = 270$.

Nas fitas: $\mathrm{MMC}(20, 30) = 60$ e $\mathrm{MDC}(20, 30) = 10$, logo $60 \times 10 = 600$, e $20 \times 30 = 600$.

Essa verificação vale para dois números. Com três ou mais ela não funciona.

Com três números ou mais

Para o MMC, a fatoração simultânea funciona igual: divida os três ao mesmo tempo e multiplique tudo.

Para o MDC, resolva dois de cada vez:

$\mathrm{MDC}(a, b, c) = \mathrm{MDC}(\mathrm{MDC}(a, b),\, c)$